【笔记整理】信号与系统复习——傅里叶级数与傅里叶变换

傅里叶级数与傅里叶变换

傅里叶级数

定义：满足狄利赫里条件的周期函数，可以变换成以三角函数或指数函数为基对周期函数的无穷级数展开
意义：通过傅里叶级数可以分析各个频率分量和直流分量

$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X_ne^{-jn \Omega_0 t}$
$x(t)=A+\sum_{n=-\infty}^{\infty}[a_0\cos(n\Omega_0t)+b_0\sin(n\Omega_0t)]$

傅里叶变换

定义：将时间变量转换为频率变量，将在时域上分析困难的信号转换为频域上分析
意义：揭示了信号的频域特征，揭示了信号频域特征和时域特征的内在密切联系

$X(j\Omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\Omega t}dt$

由此我们引出以下几个问题

一个函数进行傅里叶级数展开的条件？

• 周期函数
• 满足狄利赫里条件：
  在一个周期内
  • 若存在间断点，间断点为有限个
  • 极大值和极小值为有限个
  • 能量有限
    • 对于离散信号，满足绝对可和
    • 对于连续信号，满足绝对可积

傅里叶级数与傅里叶级数系数的区别？

• 傅里叶级数：是时域的表示

$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X_ne^{-jn \Omega_0 t}$
$x(t)=A+\sum_{n=-\infty}^{\infty}[a_0\cos(n\Omega_0t)+b_0\sin(n\Omega_0t)]$

• 傅里叶级数的系数：是频域的表示
  $X_n=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn \Omega_0 t}dt$

周期信号的傅里叶级数展开有什么形式？这些形式有什么区别？

• 指数形式
  $x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X_ne^{-jn \Omega_0 t}$
• 三角形式
  $x(t)=A+\sum_{n=-\infty}^{\infty}[a_0\cos(n\Omega_0t)+b_0\sin(n\Omega_0t)]$
• 区别
  • 指数形是的频谱是双边谱
  • 三角形式的频谱是单边谱

周期信号的傅里叶级数展开的指数形式为什么引入负频率？

周期信号的傅里叶级数展开的指数形式有共轭对，引入负频率才可以保证原函数的完整性

什么是吉布斯效应？

一个函数存在间断点，若用傅里叶级数去逼近，当项数趋近于无穷大时，仍然和原函数存在约8.95%的误差，这种现象被称为吉布斯效应

一个函数进行傅里叶变换的条件？

• 能量有限信号，即能量信号（充分条件）
  • 对于离散信号，满足绝对可和
  • 对于连续信号，满足绝对可积
• 对于周期信号，引入广义函数，即单位冲激序列后，可以进行傅里叶变换

对于一个周期信号，怎么进行傅里叶变换？

• 对于一个周期信号，引入广义函数，即单位冲激序列，把周期信号看成是一个周期内的信号和单位冲激序列做得卷积，再通过对卷积性质做傅里叶变换，即可得到周期信号的傅里叶变换（过程如下）
  设一个周期信号的函数为：
  $m_s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}m(t-nT_s)$
  将其看成是一个周期内的函数与单位冲激序列的卷积：
  $m_s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}m(t-nT_s)=m(t)*\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)$
  由卷积的性质可知：
  $x_1(t) \cdot x_2(t) \leftrightarrow \frac{1}{2\pi} X_1(j\Omega)* X_2(j\Omega)$
  $x_1(t)* x_2(t) \leftrightarrow X_1(j\Omega) \cdot X_2(j\Omega)$
  设
  $m(t) \leftrightarrow M(j\Omega)$
  而单位冲激序列的傅里叶变换为：
  $\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)\leftrightarrow \delta_T(j\Omega)=\frac{1}{T_s} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-n\Omega_s)$
  因此此周期函数的傅里叶变换为：
  $M_s(j\Omega)=M(j\Omega) \cdot [ \frac{1}{T_s} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-n\Omega_s)]=\frac{1}{T_s} \sum_{n=-\infty}^{\infty}M(n\Omega_s)\delta(\Omega-n\Omega_s)$

傅里叶变换对偶性质的意义

傅里叶变换对偶性质揭示了信号在时域和频域的对偶关系，即信号的不同表现形式，但所含的信息是相同的，通过傅里叶变换对偶性质可以简单求得一些信号的傅里叶逆变换

傅里叶级数和傅里叶变换的不同

• 傅里叶级数是周期信号的变换，傅里叶变换是非周期信号的变换
• 引入单位冲激序列后，周期信号可以进行傅里叶变换
• 傅里叶级数是正交级数，是各个频率分量波形的叠加，是时域表示
  $x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X_ne^{-jn \Omega_0 t}$
  $x(t)=A+\sum_{n=-\infty}^{\infty}[a_0\cos(n\Omega_0t)+b_0\sin(n\Omega_0t)]$
• 傅里叶变换是完全的频域表示
  $X(j\Omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\Omega t}dt$

傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系

• 傅里叶变换式傅里叶级数的推导
• 一个满足狄利赫里条件的周期函数，都是表示为以指数函数或三角函数为基对周期函数的无穷级数展开
• 当周期无穷大时，频率的间隔无穷小，离散变成连续，可以得到傅里叶变换
  $X_n=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn \Omega_0 t}dt$
  $X(j\Omega)=\lim_{T \to \infty}X_n=\lim_{T \to \infty}\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn \Omega_0 t}dt=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\Omega t}dt$