复变函数：傅里叶级数、傅里叶变换

一、傅里叶级数

1.1 对周期函数进行分解的猜想

拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示，比如下图：

而另外一位数学家猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。

1.2 分解的思路

1.2.1 常数项

根据周期函数的定义，常数函数是周期函数，其周期是任意实数，所以，对于 $y=C,C\in R$这样的常数函数，分解里面要添加一个常数项与之对应。

1.2.2 其他部分通过 $sin(x),cos(x)$进行分解

思路：

• $sin(x),cos(x)$是周期函数，进行合理的加减组合，结果可以是周期函数，且它们的微分和积分都很简单。
• 任意函数都可以分解成奇偶函数之和：
  $f(x)={f(x)+f(-x)\over 2}+{f(x)-f(-x)\over 2}=f_{even}+f_{odd}$
• $sin(x)$是奇函数，奇函数与奇函数加减永远是奇函数
• $cos(x)$是偶函数，偶函数和偶函数加减永远是偶函数

1.2.3 保证组合出来周期为T

之前提到 $f(x)$是周期为T的函数，那么怎么保证组合出来的函数周期仍然为T呢？
首先，我们知道 $sin(x)$的周期为 $2\pi$， $sin(2x)$的周期也是 $2\pi$，但是最少周期是 $\pi$，很显然， $sin(x),n\in N$的周期都是 $2\pi$。
所以更一般的，如果 $f(x)$的周期为T，那么 $sin({2\pi n\over T}x),cos({2\pi n\over T}x),n\in N$这些函数的周期也为T，再将这些函数进行加减，就保证了得到的函数周期也为T。

1.2.4 调整振幅

假如有如下这个函数，周期为 $2\pi$：

现在我们也有一些周期为 $2\pi$的函数，比如 $sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x)$：

通过调整振幅可以让它们慢慢接近目标函数，比如 $sin(x)$处处小于目标函数：

将其振幅增大一倍可得：

此时 $2sin(x)$有的地方超过去了，所以从周期为 $2\pi$的函数中选择一个，减去一点，可以得到 $2sin(x)-sin(2x)$：

通过调整振幅，加加减减，我们可以慢慢接近目标函数：

1.2.5 综上，构造出来的三角函数和类似于如下的样子：

这符合之前的分析：

• 有常数项
• 用奇函数和偶函数组合出任意函数
• 周期为T
• 调整振幅，逼近原函数

1.3 $sin(x)$的另外一种表示方法

1.3.1 $e^{iwt}$

欧拉公式：
$e^{i\theta}$代表复平面一个夹角为 $\theta$的向量：

当 $\theta$不再是常数，而是代表时间的变量t的时候： $e^{i\theta }\to e^{it}$，随着时间t的增长， $\theta$不断增大，这个向量就会旋转起来， $2\pi$的时间会旋转一圈，这就是 $T=2\pi$

1.3.2 通过 $e^{iwt}$表示 $sin(t)$

根据欧拉公式，有： $e^{it}=cos(t)+isin(t)$，所以，在时间轴t上，把e^{it}向量的虚部（也就是纵坐标）记录下来，得到的就是 $sin(t)$：

如果在时间轴t上，把 $e^{it}$的实部（横坐标）记录下来，得到的就是 $cos(t)$的曲线：

更一般的，我们认为有两种看待 $sin(x),cos(x)$的角度：
$e^{iwt}\iff\begin{cases}sin(wt)\\cos(wt)\end{cases}$
这两种角度，一个可以观察到旋转的频率，所以称为频域；另一个可以看到流逝的时间，所以称为时域：

1.4 通过频域求系数：

假设有这么一个函数： $g(x)=sin(x)+sin(2x)$是一个 $T=2\pi$的函数：

如果转到频域去，那么函数 $g(x)$就是下面这个复数函数的虚部： $e^{it}+e^{2it}$

首先看下 $e^{i\theta}+e^{i2\theta}$，其中 $\theta$是常数，很显然这是两个向量之和：

将 $\theta$换成流逝的时间t，并将虚部记录下来：

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令 $G(t)=e^{it}+e^{i2t}$，这里用大写的G来表示复数函数，刚才看到 $e^{it}$和 $e^{i2t}$都是向量，所以上式可以写作：
$\overrightarrow{G(t)}=\overrightarrow{e^{it}}+\overrightarrow{e^{i2t}}$
这里，从线性代数的角度：

• $e^{it}$和 $e^{i2t}$是基
• $G(t)$是基 $e^{it},e^{i2t}$的线性组合

$g(t)$是 $G(t)$的虚部，所以取虚部的向量分量，很容易得到：
$\overrightarrow{g(t)}=\overrightarrow{sin(t)}+\overrightarrow{sin2t}$，即 $g(t)$是基 $sin(t),sin(2t)$的线性组合。
那么 $sin(t),sin(2t)$的系数，实际上是 $g(t)$在基 $sin(t),sin(2t)$下的座标了。

1.4.1 如何求正交基的坐标

假设 $\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}$，其中， $\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$
通过点积： $\overrightarrow{u}\centerdot\overrightarrow{v}=0$，可知这两个向量正交，是正交基，通过点积可以算出 $\overrightarrow{u}$的系数（对于正交基才可以这么做）：
${\overrightarrow{w}\centerdot\overrightarrow{u}\over\overrightarrow{u}\centerdot\overrightarrow{u}}={(-1,5)\centerdot(1,1)\over(-1,1)\centerdot(-1,1)}=2$

1.4.2 如何求 $sin(nt)$基下的坐标

首先抛出一个结论，函数向量的点积是这么定义的：
$\overrightarrow{f(x)}\centerdot\overrightarrow{g(x)}=\int_0^Tf(x)g(x)dx$
其中， $f(x)$是函数向量， $g(x)$是基，T是 $f(x)$的周期。
那么对于 $g(x)=sin(x)+sin(2x)$，其中 $g(x)$是向量， $sin(t),sin(2t)$是基，周期 $T=2\pi$。根据刚才内积的定义：
$\overrightarrow{sin(t)}\centerdot\overrightarrow{sin(2t)}=\int_0^{2t}sin(t)sin(2t)dt=0$，所以这是一个正交基，那么根据刚才的分析，可以这么求坐标：

1.4.3 更一般的情况

对于之前的假设，其中 $f(x)$的周期为T：

可以改写成这样：

也就是说向量 $f(x)$的基为：

这里1也是一个基，那么可以得到：


C也可以通过点积来表示，最终可以得到：

其中：

https://www.matongxue.com/madocs/619.html

二、从傅里叶级数到傅里叶变换

2.1 傅里叶级数

2.1.1 傅里叶级数是向量

从代数上看，傅里叶级数就是通过三角函数和常数项来叠加逼近周期为T的函数 $f(x)$：

这一过过程，实际上是把 $f(x)$当作了如下基的向量：

那么上面的式子就可以解读为：

以一个例子来说明，比如一个 $T=2\pi$的方波 $f(x)$，可以粗略的写作 $f(x)\approx1+{4\over\pi}sin(x)$

我们可以认为 $f(x)\approx1+{4\over\pi}sin(x)$这个函数的基为 $\{1,sin(x)\}$，则 $f(x)$相当于向量 $(1,{4\over\pi})$，画到图上如下，注意横纵坐标：

2.1.2 频域图

再增加几个三角函数：

此时从几何上来看，图像更为接近：

这时的基为：

对应的向量为：

六维的向量我们是没有办法通过坐标图来表示的，因此数学家使用了一个频域图来表示这个向量：

上图中的0，1，2，3，4，5分别代表了不同频率的正弦波函数，也就是之间的基：
$0Hz\iff sin(0x)\quad3Hz\iff sin(3x)...$
而高度则代表在这个频率上的振幅，也就是这个基上的坐标分量。
这里举的例子只有正弦函数，余弦函数其实也需要这样一个频谱图，也就是需要两个频谱图，此外还有一种结合正弦和余弦的方式，这个放在后面。

原来的曲线图就称为时域图，往往把时域图和频域图画在一起，这样才能较为完整的反映傅里叶级数。

不管是时域还是频域，其实反映的都是同一个直线，只不过一个用了函数的观点，而另一个用了向量的观点。

2.2 非周期函数：

以上关于傅里叶级数的说明都是基于周期函数，假如有如下一个非周期函数，那么傅里叶级数该怎么处理？

我们可以变换一下思路，如果刚才方波的周期：
$T=2\pi\to T=\infin$
那么可以得到一个如下的函数：

在这样的思路下，就可以使用三角级数来逼近这个函数

观察下频域，之前说过，对于周期为T的函数 $f(x)$,其基为：

刚才举的方波 $T=2\pi$，对应的基就为（没有余弦波）：

对应的频率就是：

按照刚才的思路，如果T不断变大，比如让 $T=4\pi$，对应的基就为（没有余弦波）：

对应的频率就为：

和刚才相比，频率更加密集

之前方波的频域图，画了前五十个频率，可以看到随着 $T$不断变大，这50个频率越来越集中：




可以想象，如果真的： $T=2\pi\to T=\infty$，这些频率就会变得稠密，直至连续，变为一条频域曲线：

傅里叶变换就是，让 $T=\infty$，求处上面这根频域曲线

2.3 傅里叶变换

傅里叶级数是：

这里有正弦波和余弦波，画频域图不方便，通过欧拉公式，可以转变为复数形式：

其中：

复数形式也是向量，可以理解为：

周期推向无穷的时候可以得到：

其中 $F(w)$：

$F(w)$就是傅里叶变换，得到的就是频域曲线
下面两者称为傅里叶变换对，可以相互转换： $f(x)\iff F(w)$，正如之前所说的，这是看待同一个数学对象的两种形式，一个是函数，一个是向量。

https://www.matongxue.com/madocs/712.html