统计信号处理基础 习题解答3-13

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题目

解答

1.  明确0的0次方

2. 方法1：常规法

第一步：获得概率分布函数

第二步：获得估计量的似然函数

 第三步：对似然函数取对数

 第四步：求一阶导数

 第五步：求二阶导数

 第六步：对二阶导数求数学期望

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3. 方法2： 利用一般高斯情况性质

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题目

考虑在例3.7中描述的直线拟合问题的推广，通常也称为多项式或曲线拟合，数据模型为：

是方差 的WGN，希望估计 。求本题的Fisher信息矩阵。

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解答

1.  明确0的0次方

在解本题之前，首选需要根据题目的定义，确认：

相关参考：

0的0次方为何等于1？ - 知乎

因此，本题的采集数据可以进一步表示为：

…

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2. 方法1：常规法

第一步：获得概率分布函数

由于 是方差 的WGN，因此：

进一步可以得到：

第二步：获得估计量的似然函数

从观测数据 中估计参数 ，可以得到似然函数：

 其中：

 第三步：对似然函数取对数

得到：

 第四步：求一阶导数

对上述公式，对 求一阶导数：

 第五步：求二阶导数

对上述公式，对 再求一阶导数：

 第六步：对二阶导数求数学期望

得到：

 其中

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3. 方法2： 利用一般高斯情况性质

即当：

那么：

 根据本题条件：

 由于与 无关，因此：

 因此，上式就变成：

 而：

​​​​​​​因此：

 其中 ​​​​​​​

 两种方法，结论一致

​​​​​​​