统计信号处理基础 习题解答4-1

题目：

我们希望估计噪声中指数信号的幅度，观测数据为：

 其中w[n]的方差为σ2 的WGN，求幅度的MVU估计量及他们的协方差。当p=2，r1=1,r2=-1且N为偶数的情况下，计算结果。

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解答：

根据书上的推导过程，进行一步一步计算：

第一步，将上述数据模型，表达成矩阵形式，记：

 其中： 

 因此，观测数据可以表示为：

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 可以进一步得到：

 第二步，写成概率分布：

当x~N(μ,C) 时，可以得到概率分布：

 因此可以得到本题对应的似然函数：

 第三步：对该似然函数求对数：

 第四步：对求对数后的似然函数求一阶导数：

 利用恒等式：

 因此：

 而由于和都是标量，因此： 

 第五步：求估计量的MVU及协方差

将上式进一步表示为：

 显然，上式表示成了定理3.2中公式（3.25）的形式，那么可以得到θ 的MVU估计量为： 

 那么：

 最后，根据题目给出的简化条件，即：

 得到：

 又因为N是偶数，因此：

 那么：

 因此:

也就是A1 和A2 的MVU估计量分别为：

 而此时存在：

 因此可以进一步得到： 

 即A1 和A2 估计量的CRLB都是