统计信号处理基础 习题解答4-4

题目：

在线性模型中，我们希望估计信号s=Hθ。如果求得了θ的MVU估计量，那么信号可以估计为：

那么该估计量的PDF是什么？并将结果利用到例4.2的线性模型。

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解答：

根据线性模型：

其中： 为观测到的数据， 为已知的观测矩阵，

那么根据线性模型的MVU估计量计算公式（4.9）和（4.10），得到：

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 因此：

 另外，从估计表达式，计算协方差矩阵：

 与（4.10）一致，因此：

此时，如果需要计算下式的PDF：

那么：

 因此：

根据第八章p163内容可知：

为 列矢量不正交一般情况下的正交投影矩阵，其中H的秩为p。另外，该矩阵还为对称阵和等密矩阵。

将上述结论利用到例题4.2，即根据（4.15），（4.16）已知：

 求 的PDF，其中

 即：

根据上述计算结果，可以得到：

 根据正交性（习题4.5证明），可以得到：

因此：

最终：

综上，本题的结论可以用于矩阵形式的高斯噪声模型，经过观察矩阵线性变化后，新估计量的PDF确认。