统计信号处理基础 习题解答4-8

题目：

我们系统根据输入和输出过程来估计因果线性系统的频率响应H(f),假定输入过程u[n]和输出过程x[n]是WSS随机过程。

证明：输入和输出过程的互功率谱密度是：

其中： ,且

如果输入过程是功率谱密度为 的白噪声，那么请为频率响应提出一种估计量。

如果对于某个频带 ，你能估计频率响应么？

当线性系统是TDL时，能将估计量与（4.23）式联系起来么？

---

解答

1. 自相关函数、互相关函数、自相关功率谱密度及互相关功率谱密度定义

根据维纳—辛钦定理，我们可以得到：任意一个均值为常数的广义平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅里叶变化

参考：功率谱密度与自相关矩阵，

统计信号处理基础 习题解答3-16_weixin_43270276的博客-CSDN博客

另外，对于互相关功率谱密度也有同样的性质。因此我们可以得到：

• 输入过程的自相关函数定义为：

• 输入过程的功率谱密度可以表示为：

• 输入过程和输出过程的互相关函数定义为：

• 互相关函数的功率谱密度定义为：

2. 卷积的定义及性质

如果两个序列为x[n]和h[n]，那么定义卷积为：

卷积的傅里叶变换具有性质：

具体参考：

卷积_百度百科

3. 证明过程

根据题目中输入信号、系统相应及输出信号的关系，可以得到：

那么输入与输出的互相关函数可以表示为：

其中 ​​​​​​​ 

根据卷积FFT变换性质，得到：

而由于：

因此得到：

证明完毕。

4. 题目其他条件讨论

当 时，得到：

即：

因此系统的频率响应的估计量可以表示为：

 由于是高斯白噪声，因此 ，那么

因此，上式也可以进一步表示为：

 而书中（4.23）表示为：

显然题目中推导的公式，就是（4.23）式傅里叶变换之后的结果，也就是系统辨识问题的频谱结果。

而当在一定频率带宽内，如果 ，那么根据：

此时 始终为0，与 无关，因此此时无法通过 去估计 。