【概率论与数理统计 Probability and Statistics 15】—— 正态总体下的抽样分布

在开始这一次 Blog 之前，我们先明确我们要干啥—— 什么是正态总体下的抽样分布？首先，就是这个总体是服从正态分布的。然后我们从总体中抽取出的这些样本所构成的统计量所服从的分布，就是我们今天需要学习的。本节难度较大，主要难在那几种分布（ $x^2$, t 分布、F分布之间的拼凑）

一、需要用到的定理或性质准备

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【1】就是 $x^2$ 分布的定义：若 $X_i \sim N(0,1)$，那么有： $\sum_{i=1}^{n}X_i^2 \sim x^2(n)$

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【2】接下来就是 $x^2$ 分布的性质：若 $X_i \sim x^2(n_1), Y_i \sim x^2(n_2)$，那么： $X_i + Y_i \sim x^2(n_1 + n_2)$

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【3】关于 $t$ 分布的定义：若 $X_i \sim N(0,1)$， $Y_i \sim x^2(n)$，那么： $\frac{X_i}{\sqrt{Y_i/n}} \sim t(n)$

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【4】然后就是 F 分布的定义：若 $X_i \sim x^2(n_1)$； $Y_i \sim x^2(n_2)$，那么： $\frac{X_i/n_1}{Y_i/n_2} \sim F(n_1, n_2)$

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二、启航—— 一波定理来袭

好！我们准备好了所需要的定理和性质之后，我们下面来看看正态总体下的抽样分布的定理：

2.1 一个正态总体

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【1】若 $X_i \sim N(μ, σ^2)$，且 $X_i$ 相互独立，那么，有： $\bar{X} \sim N(μ, \frac{σ^2}{n})$

我们下面来简单证明一下：首先明确，正态分布的第一个参数是期望（均值），第二个参数是方差。
由于 $\bar{X} = \frac{X_1 +X_2 + \cdots + X_n}{n}$
因此， $E(\bar{X})=\frac{1}{n}E(\sum_{i=1}^nX_i ) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE(X_i) =\frac{1}{n}nμ = μ$
$D(\bar{X}) =\frac{1}{n^2}D(\sum_{i=1}^nX_i)$，这里需要特别注意：只有当 $X_i$ 相互独立时，方差里面的 $\sum$ 才可以提出来，其他情况是不允许的！！

因此，在 $X_i$ 相互独立的情况下，有： $D(\bar{X}) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^nD(X_i) = \frac{1}{n^2}nσ^2 = \frac{σ^2}{n}$

【2】这个定理大家要记住： $\frac{(n-1)S^2}{σ^2}\sim x^2(n-1)$
这里， $S^2$是修正后的样本方差： $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i - \bar{X})^2$

特别注意：定理里面它所服从的卡方分布的自由度是 n-1 ！！！

【3】下面这个定理需要记忆： $\frac{1}{σ^2}\sum_{i=1}^n(X_i - μ)^2 \sim x^2(n)$

这个定理的样子看起来和定理 【2】 很像，但是这个是减去 总体的均值μ而非样本均值 $\bar{X}$。我们证明一下，将上式做下面的变换： $\sum_{i=1}^n(\frac{X_i - μ}{σ})^2$
我们已经知道： $\frac{X_i - μ}{σ}$ 就是一个标准化的过程，那么有： $\frac{X_i - μ}{σ} \sim N(0,1)$
而根据 $x^2$ 分布的定义， $n$ 个服从标准正态分布的 $X_i$ 的加和就服从 $x^2$ 分布，得证。

【4】这个定理也需要记忆： $\frac{\bar{X} - μ}{S}\sqrt{n} \sim t(n-1)$
下面我们来证明一下：首先，根据定理 【1】： $\bar{X} \sim N(μ, \frac{σ^2}{n})$，那么我们对 $\bar{X}$ 做标准化，有： $\frac{\bar{X} - μ}{\sqrt{\frac{σ^2}{n}}} = \sqrt{n}\frac{\bar{X} - μ}{σ} \sim N(0,1)$
又根据定理 【2】： $\frac{(n-1)S^2}{σ^2} \sim t(n-1)$
最后，我们再把 $t$ 分布的定义搬出来： $\frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim t(n)$
那么，我们就可以得到： $\frac{\sqrt{n}\frac{\bar{X} - μ}{σ}}{\sqrt{(\frac{(n-1)S^2}{σ^2})/(n-1)}}=\frac{\sqrt{n}\frac{\bar{X} - μ}{σ}}{\sqrt{\frac{S^2}{σ^2}}} = \frac{\bar{X} - μ}{S}\sqrt{n} \sim t(n-1)$

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2.2 两个正态总体

两个正态总体的定理有一、、难记忆，大家克服一下！

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【1】对于两个正态总体： $X\sim N(μ_1 ,σ_1^2)$、 $Y \sim N(μ_2, σ_2^2)$， $\{X_1, X_2, \cdots, X_{n_1}\}$是第一个总体的样本、 $\{Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n_2}\}$是第二个总体的样本。其中， $n_1$ 不一定等于 $n_2$。那么有： $\frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (μ_1 - μ_2)}{\sqrt{\frac{σ_1^2}{n_1} + \frac{σ_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1)$
别看定理很复杂，其实很容易证明，首先： $\bar{X} \sim N(μ_1, \frac{σ_1^2}{n_1})$， $\bar{Y} \sim N(μ_2, \frac{σ_2^2}{n_2})$，那么，根据正态分布的加减性质： $\bar{X} - \bar{Y} \sim N((μ_1 - μ_2), \frac{σ_1^2}{n_1} + \frac{σ_2^2}{n_2})$
最后，对它标准化一下就整出来啦！！

【2】这个性质大家需要记忆一下： $\frac{S_1/σ_1^2}{S_2/σ_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)$

这个定理的证明很简单，我们需要回顾一下上面在 2.2 的定理： $\frac{(n-1)S^2}{σ^2}\sim x^2(n-1)$
那么，我们再把 $F$ 分布的定义拿出来：若 $X_i\sim x^(n_1)$， $Y\sim x^2(n_2)$，那么： $\frac{X_i/n_1}{Y/n_2} \sim F(n_1, n_2)$
所以，我们套用一下 F 分布的定义就可以得到啦！

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