【概率论与数理统计 Probability and Statistics 9】——二维随机变量的条件分布（离散+连续）与条件密度（连续）

一、条件分布的定义

$F(x|A) = P\{X≤x|A\}$
至于这个定义，其实就是条件概率嘛： $P\{X≤x|A\} = \frac{P\{X ≤ x, A\}}{P(A)}$

二、二维离散型条件分布的计算

我们直接上具体的例子，难度其实是不大的：已知 X, Y 的联合分布表如下：

X\Y	0	1
0	0.1	0.3
1	0.3	0.3

需要计算各种条件分布。

因为是离散型的随机变量，X 或者 Y 的取值被限定在了那几个值里面。所以各种条件概率就可以表示为： $P\{X=0|Y=0\};P\{X=1|Y=0\};P\{X=0|Y=1\};P\{X=1|Y=1\}\\ P\{Y=0|X=0\};P\{Y=1|X=0\};P\{Y=0|X=1\};P\{Y=1|X=1\}$

这种题目有固定解法：
【1】先把 X, Y 的边缘分布求出来（这在上一篇 $Blog$ 里面涉及了）也就是说，通过这一步，我们可以计算得到： $P\{X=0\}, P\{X=1\}, P\{Y=0\}, P\{Y=1\}$

【2】我们举一个例子说明：如果要求的是 $P\{X=1|Y=0\}$，那么根据定义可以表示为： $P\{X=1|Y=0\} = \frac{P\{X=1,Y=0\}}{P\{Y=0\}}$
我们发现： $P\{X=1,Y=0\}$ 就是联合分布表里面 X = 1, Y = 0 的概率嘛，直接从上表找到即可（为0.3）

【3】除一下秒得结果

三、连续型随机变量的条件分布和条件密度

同样，我们先简单给出定义：
对于 X, Y 两个随机变量，其联合密度函数已知： $f(x,y)$，又已知了它们的边缘密度函数 $f_X(x), f_Y(y)$
如果 $f_Y(y)>0$，那么在 Y = y 的条件下 X 的条件分布函数即为： $F(x|y) = \int_{-∞}^x\frac{f(u, y)}{f_Y(y)}du$
两边一同时求导就可以得到 X 的条件密度函数了（值得一提的是，对等式右边是一个变上限积分的求导）得到 $f(x|y) = F'(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\tag{1}$
同理，Y 的条件密度函数也是一样的： $f(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}\tag{2}$

不过大家在计算的时候要注意一点：如果题目是这样问的：求 $f(y|x = 2)$，那么我们的计算公式就应该变成： $\frac{f(2, y)}{f_X(2)}$

好啦，这就是本次 $Blog$ 的全部内容，下一篇 $Blog$ 我们将会学习二维随机变量函数的分布和分布密度（包括离散型和连续型）