【概率论与数理统计 Probability and Statistics 2】—— 概率的公理化以及概率的八大性质

一、概率的公理化表述：

我们在前面的随机事件的定义都是比较口语化的：随机试验的结果就是随机事件嘛。今天我们给出公理化的定义：随机事件都要满足下面三个公理：

1. 非负性：对于任意事件 $A$，有： $0≤P(A) ≤1$；
2. 规范性： $P(Ω) = 1$；
3. 可加性：对于两两互斥的事件 $A_1, A_2,\cdots, A_n$，有： $P(\bigcup_{i=1}^nA_i) =\sum_{i=1}^nP(A_i)$

二、概率的八大性质及其证明

下面是概率的八大性质以及部分证明：
【性质一】非负性：对于任意事件 $A$，有： $0≤P(A) ≤1$；

【性质二】规范性： $P(Ω) = 1$；

【性质三】可加性：若事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，则 $P(A+B) = P(A)+P(B)$

【性质四】 $P(Φ) = 0$
$\footnotesize\color {DarkOrchid}{证明}$： $A = A + Φ$；因此， $P(A) = P(A + Φ)$，又由于事件 $A$ 与空集 $Φ$ 是互斥的，因此： $P(A) = P(A) + P(Φ)$，故 $P(Φ) = 0$

这里补充一个小插曲：我们知道，不可能事件的概率是0，那么概率为0的事件是不是不可能事件呢？
答案是：No！！以几何概型为例，我们朝一根线段上扔一个质点，质点落在点（1，0）上的概率是0吧，因为（1，0）没有长度啊，所以概率是0，但是这件事不是不可能的噢，没准一扔刚好就是在那个（1，0）上了呢对吧。

【性质五】若： $A \sub B$，则 $P(A) ≤ P(B)$
$\footnotesize\color {DarkOrchid}{证明}$：我们知道 $B = B-A+A = (B-A)+A$，那么我们发现：事件 $(B-A)$ 和事件 $A$ 是互斥事件，因此右完全可加定理【性质三】可知： $P(B) = P(B-A)+P(A)$
又由概率的非负性可知： $P(B-A) ≥ 0$，因此得出： $P(B) ≥ P(A)$

【性质六】对于任意事件， $P(A) = 1-P(\bar{A})$
$\footnotesize\color {DarkOrchid}{证明}$：由于 $A + \bar{A} = Ω$，因此： $P(A+\bar{A}) = P(Ω) = 1$，又因为 $A$ 与 $\bar{A}$ 是互斥事件，因此： $P(A) + P(\bar{A}) = 1$。因此： $P(A) = 1-P(\bar{A})$

【性质七】对于任意事件，都有： $P(A-B) = P(A) - P(AB)$
$\footnotesize\color {DarkOrchid}{证明}$：我们从一个新的角度去可视化理解这个证明。
我们知道任意的两个事件，无非就是三个关系—— 互斥、包含和相交。我们看看：

我们看看第一种：互斥的情况，假如 $A, B$ 互斥， $A - B$ 表示从 $A$ 中减去 $B$ 的部分，可是这俩事件都没有公共部分，因此 $A - B = A$，即 $P(A-B) = P(A)$，对应地， $P(AB) = 0$。因此，就有： $P(A - B) = P(A) - P(AB)$

我们接着看第二个情况：包含，如果是 $A$ 包含 $B$，那么 $A-B$ 就是货真价实的从 $A$ 中减去 $B$，这是不是相当于从 $A$ 中减去 $A, B$ 的公共部分？因为 $AB = B$！也就是： $A-B = A-AB$，那么就有： $P(A) = P(A-AB+AB) = P(A-AB)+P(AB) = P(A-B) + P(AB)$
即： $P(A-B) = P(A) - P(B)$

我们再来看看最后一种情况：相交。这俩事件相交，那么 $A -B$ 依然表示的是从 $A$ 中减去 $B$ 的成分，而 $A$ 中 $B$ 的成分就是 $AB$！即： $A-AB = A-B$，那么 $P(A) = P(A-AB+AB) = P(A-AB)+P(AB) = P(A-B) + P(AB)$
所以稍作变换我们就可以得出： $P(A-B) = P(A) - P(AB)$

【性质八】加法原理：对于任意的 $A, B$， $P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB)$
$\footnotesize\color {DarkOrchid}{证明}$：我们知道， $A∪B = A+B-AB$（因为 $AB$ 加多了一次，要减掉）
因此， $P(A∪B) = P(A)+P(B-AB)$，对于 $P(B-AB)$，我们用性质七： $P(B-AB) = P(B) - P(AB)$
因此，我们得到： $P(A∪B) = P(A)+P(B) - P(AB)$

扩展：（ $important$）： $P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)$