【概率论与数理统计 Probability and Statistics 7】—— 一维随机变量函数的分布（离散型+连续型）

很多的实际应用里面，往往 X 的分布是已知的，实际问题对应的变量是 X 的函数，那么，我们应该如何求 Y 的分布呢？这篇 $Blog$ 将会带给你答案！我们开始吧！

一、一维离散型随机变量函数的分布

我们对于一维离散型随机变量，都是以概率分布表的形式来说明分布的。那么，这样一来问题就变得简单了：只要已知 Y 的函数（例如 ： $Y = aX + b$，我们就分别把 X 概率分布表里面的 X 的取值依次带入 $Y = aX + b$ ，得到对应的 Y 值，然后直接把概率对应地抄写过来即可！）

但是，要特别说明一点：如果计算出来的 Y 有重复的，（例如： $Y = X^2$ ，当 X = 1, -1 时，计算出来的 Y 是一样的，这时，我们需要把 两个取值相同的 Y 的概率加起来）

X	-1	0	1
P	0.2	0.5	0.3

求 $Y = X^2$的分布：
【步骤一】

Y	1	0	1
P	0.2	0.5	0.3

【步骤二】：看 Y 有没有一样的需要合并

Y	0	1
P	0.5	0.5

二、一维连续型随机变量函数的分布

已知 X 的分布函数，计算 Y 的概率密度函数。有一个统一套路：
【1】写 Y 分布函数的表达式： $F_Y(x) = P\{Y ≤ x\}$
【2】根据 Y 对于 X 的函数把 Y = 、、、带入 Y ≤ x，解出：X ≤ m
【3】那么，就可以得到： $F_Y(x) = F_X(m)$
【4】两边求导，注意： $F_X(m)$对 x 的求导是复合函数求导。得到 $f_Y(x)$

不过要特别注意 x 的取值范围。

我们看一个需要分情况的例题：
已知： $X$~ $N(0,1)$， $Y = X^2$，求 Y 的概率密度函数。