高数打卡08

计算曲线积分 $\oint_{L}\frac{ydx-xdy}{2(x^2+y^2)},$其中 $L$为圆周 $(x-1)^2+y^2=2,L$的方向为逆方向.

解：在 $L$所围成的区域内的点 $(0,0)$处,函数 $P(x,y),Q(x,y)$均无意义.现取 $r$为适当小的正数,使圆周 $l$(取逆时针方向): $x=rcost,y=rsint$( $t$从 $0$变到 $2\pi$)位于 $L$所围成的区域内,则在由 $L$和 $l^-$所围成的复连通区域 $D$上,可应用格林公式,在 $D$上有
$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{x^2-y^2}{2(x^2+y^2)^2}=\frac{\partial P}{\partial y},$
于是由格林公式得
$\oint_{L}\frac{ydx-xdy}{2(x^2+y^2)}+\oint_{l^-}\frac{ydx-xdy}{2(x^2+y^2)}=\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=0$
从而
$\oint_{L}\frac{ydx-xdy}{2(x^2+y^2)}=\oint_{l^-}\frac{ydx-xdy}{2(x^2+y^2)} \\ =\int_{0}^{2\pi}\frac{-r^2sin^2t-r^2cos^2t}{2r^2}dt \\ =-\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}dt=-\pi.$