设 函 数 f ( x ) 连 续 且 恒 大 于 零 ， 设函数f(x)连续且恒大于零， 设函数f(x)连续且恒大于零， F ( t ) = ∭ Ω ( t ) f ( x 2 + y 2 + z 2 ) d v ∭ D ( t ) f ( x 2 + y 2 ) d σ \begin{aligned} &F(t)=\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d v}{\iiint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) d \sigma}\\ \end{aligned} F(t)=∭D(t)f(x2+y2)dσ∭Ω(t)f(x2+y2+z2)dv G ( t ) = ∬ D ( t ) f ( x 2 + y 2 ) d σ ∫ − t t f ( x 2 ) d x \begin{aligned} G(t)=\frac{\iint_{D(t)} f\left(x^{2}+y^{2}\right) d \sigma}{\int_{-t}^{t} f\left(x^{2}\right) d x} \end{aligned} G(t)=∫−ttf(x2)dx∬D(t)f(x2+y2)dσ 其 中 Ω ( t ) = { ( x , y , z ) ∣ x 2 + y 2 + z 2 ≤ t 2 } , D ( t ) = { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ≤ t 2 } . 其中\Omega(t)=\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2 \leq t^2\},D(t)=\{(x,y)|x^2+y^2 \leq t^2\}. 其中Ω(t)={(x,y,z)∣x2+y2+z2≤t2},D(t)={(x,y)∣x2+y2≤t2}. ( 1 ) 讨 论 F ( t ) 在 区 间 ( 0 , + ∞ ) 内 的 单 调 性 ； (1)讨论F(t)在区间(0,+\infty)内的 单调性； (1)讨论F(t)在区间(0,+∞)内的单调性； ( 2 ) 证 明 当 t > 0 时 ， F ( t ) > 2 π G ( t ) . (2)证明当t>0时，F(t)>\frac{2}{\pi}G(t). (2)证明当t>0时，F(t)>π2G(t).
