高数打卡07

计算下列对坐标的曲线积分：
$(1)\oint_{L}xydx,$其中 $L$为圆周 $(x-a)^2+y^2=a^2(a>0)$及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);
$(2)\oint_{\Gamma}dx-dy+ydz,$
其中 $\Gamma$为有向折线 $ABCA,$这里的 $A,B,C$依次为点 $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1);$
$(3)\int_{L}(x+y)dx+(y-x)dy,$其中 $L$是曲线 $x=2t^2+t+1,y=t^2+1,$从点 $(1,1)$到点 $(4,2)$的一段弧.

解：
$(1)L$由 $L_1(圆弧)$和 $L_2(直线段)$组成. $L_1$为有向半圆弧:
$\left\{\begin{aligned} &x=a+acost,\\ &y=asint, \end{aligned}\right.$
$t$从0变到 $\pi;$
$L_2$为有向线段 $y=0,x$从 $0$变到 $2a.$于是
$\oint_{L}xydx=\int_{L_1}xydx+\int_{L_2}xydx\\ =\int_{0}^{\pi}a(1+cost) \cdot asint \cdot (-asint)dt+0\\ =-a^3(\int_{0}^{\pi}sin^2tdt+\int_{0}^{\pi}sin^2tcostdt)\\ =-a^3(\frac{\pi}{2}+0)=-\frac{\pi}{2}a^3.\\$
$(2)$ $\Gamma$由有向线段AB,BC,CA依次连接而成,其中
$AB:x=1-t,y=t,z=0,t从0变到1;\\ BC:x=0,y=1-t,z=t,t从0变到1;\\ CA:x=t,y=0,z=1-t,t从0变到1:\\$
$\int_{AB}dx-dy+ydz=\int_{0}^{1}[(-1)-1+0]dt=-2,\\ \int_{BC}dx-dy+ydz=\int_{0}^{1}[0-(-1)+(1-t) \cdot 1]dt=\int_{0}^{1}(2-t)dt=\frac{3}{2},\\ \int_{CA}dx-dy+ydz=\int_{0}^{1}(1-0+0)dt=1,$
因此
$\oint_{\Gamma}dx-dy+ydz=-2+\frac{3}{2}+1=\frac{1}{2}.$
$(3)$由 $\left\{\begin{aligned} &2t^2+t+1=1,\\ &t^2+1=1\\ \end{aligned} \right.$
可得 $t=0;$
由 $\left\{\begin{aligned} &2t^2+t+1=4,\\ &t^2+1=2\\ \end{aligned} \right.$
可得 $t=1;$
因此
$\int_{L}(x+y)dx+(y-x)dy=\int_{0}^{1}[2t^2+t+1+t^2+1) \cdot (4t+1)+(t^2+1-2t^2-t-1) \cdot 2t]dt \\ =\int_{0}^{1}(10t^3+5t^2+9t+2)dt=\frac{32}{3}.$