计算下列对坐标的曲面积分:
∬∑zdxdy+xdydz+ydzdx
其中
∑是柱面
x2+y2=1被平面
z=0及
z=3所截得的在第一卦限内的部分的前侧;
由于柱面
x2+y2=1在
xOy 面上的投影为
0,因此
∬∑zdxdy=0.
又
Dyz={(y,z)∣0≤y≤1,0≤z≤3}Dzx={(x,z)∣0≤z≤3,0≤x≤1}
因
∑取前侧,故
∬∑zdxdy+xdydz+ydzdx=∬∑xdydz+∬∑ydzdx=∬Dyz1−y2
dydz+∬Dzx1−yx
dzdx=∫03dz∫011−y2
dy+∫03dz∫011−x2
dx=23π