计 算 下 列 对 弧 长 的 曲 线 积 分 ： ∫ L x 2 y z d s , 其 中 L 为 折 线 A B C D , 这 里 A , B , C , D 依 次 为 点 ( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 1 , 0 , 2 ) , ( 1 , 3 , 2 ) . 计算下列对弧长的曲线积分： \int_{L}x^2yzds,其中L为折线ABCD,这里A,B,C,D依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2). 计算下列对弧长的曲线积分：∫Lx2yzds,其中L为折线ABCD,这里A,B,C,D依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2). 解 ： 解： 解： L 由 直 线 段 A B , B C , C D 组 成 ， 其 中 L由直线段AB,BC,CD组成，其中 L由直线段AB,BC,CD组成，其中 A B : x = 0 , y = 0 , z = t ( 0 ≤ t ≤ 2 ) ; B C : x = t , y = 0 , z = 2 ( 0 ≤ t ≤ 1 ) ; C D : x = 1 , y = t , z = 2 ( 0 ≤ t ≤ 3 ) . AB:x=0,y=0,z=t(0 \leq t \leq 2); \\ BC:x=t,y=0,z=2(0 \leq t \leq 1); \\ CD:x=1,y=t,z=2(0 \leq t \leq 3). AB:x=0,y=0,z=t(0≤t≤2);BC:x=t,y=0,z=2(0≤t≤1);CD:x=1,y=t,z=2(0≤t≤3). 于 是 于是 于是 ∫ L x 2 y z d s = ∫ A B x 2 y z d s + ∫ B C x 2 y z d s + ∫ C D x 2 y z d s = ∫ 0 2 0 d t + ∫ 0 1 0 d t + ∫ 0 3 2 t d t = 9. \int_{L}x^2yzds=\int_{AB}x^2yzds+\int_{BC}x^2yzds+\int_{CD}x^2yzds \\ =\int_{0}^{2}0dt+\int_{0}^{1}0dt+\int_{0}^{3}2tdt=9. ∫Lx2yzds=∫ABx2yzds+∫BCx2yzds+∫CDx2yzds=∫020dt+∫010dt+∫032tdt=9.
