本节将矩阵的特征值与微分方程联系在一起,从另一个角度更好地了解特征值。
在差分方程中的应用
首先回顾由差分方程
uk+1=Auk
描述的离散动力系统的长期行为,即
k⇒∞
时解的性质。
设
A
可对角化,即存在可逆矩阵
S=(x1,...,xn)
,使得
S−1AS=Λ
为对角阵。
设
S−1u0=(c1,...,cn)T
,即
u0=c1x1+...+cnxn
。
uk=Aku0=SΛkS−1u0=c1λk1x1+...+cnλknxn
可以看出,
uk
的增长因子
λki
支配,因此系统的稳定性依赖于
A
的特征值。
当所有特征值
|λi|<1
时,是稳定的;
当所有特征值
|λi|≤1
时,是中性稳定的;
当至少有一个特征值
|λi|>1
时,是不稳定的;
因此,Markov过程是中性稳定的,Fibonacci数列是不稳定的。
引言
设关于t的向量值可导函数
u=u(t)=⎛⎝⎜u1(t)....un(t)⎞⎠⎟
,满足:
dudx=Au
其中
A=(aij)
为
n
阶常数矩阵,求解
u=u(t)
- 若
A=⎛⎝⎜λ1...λn⎞⎠⎟
为对角阵,
- 则
duidx=λiui
- 因此可解得
u=u(t)=⎛⎝⎜eλ1tc1...eλntcn⎞⎠⎟
- 由于每个方程都是独立的,这类方程被称为解耦的(uncoupled)
- 那么对于一般的矩阵
A
,如何求解呢?
- 可以将非解耦方程转化为解耦方程求解
A
可对角化情形
设
dudt=Au
有形如
eλtx
的解(为什么要这样假设?),其中
λ
为数,
x
为向量,则:
Ax=λx
因此,
A
的每个特征值
λ
及特征向量
x
都会给出
dudt=Au
的一个解
u=λtx
。
因此,求解步骤为:
-
dudt=Au=SΛS−1u
-
d(S−1u)dt=Λ(S−1u)
-
S−1u=⎛⎝⎜eλ1tc1...eλntcn⎞⎠⎟
-
u(t)=c1eλ1tx1+...+cneλntxn,且u(0)=c1x1+...+cnxn
这样,其实我们就使用对角化将非解耦的方程转化为解耦方程,方便求解。
设
u=u1(t)
和
u=u2(t)
是齐次线性微分方程组
dudt=Au
的解,则他们的线性组合
u=c1u1(t)+c2u2(t)
也是此方程组的解,其中
c1
和
c2
是任意常数。
dudt=An×nu
的解集是一个
n
维向量空间。
若
A
可对角化,则方程组的通解为
u(t)=c1eλ1tx1+...+cneλntxn
矩阵的指数函数
回顾
ex=1+x+x22!+...+xnn!+...
因此可使用
eAx
带入,可得:
d(eAt)dt=AeAt
而我们需要求的微分方程组
dudt=Au
,因此
u(t)=eAtu(0)
。
矩阵的指数函数性质:
- 若
Λ=⎛⎝⎜λ1...λn⎞⎠⎟,则eΛt=⎛⎝⎜eλ1t...eλnt⎞⎠⎟
- 若
AB=BA
,则
eA+B=eA⋅eB
,特别的,
(eA)−1=e−A
。
- 若存在可逆矩阵
P
,使得
A=PBP−1
,则
eAt=PeBtP−1
。
因此,若
A
可对角化,由定理一可知:
u(t)=eAtu(0)=SeΛtS−1u(0)=(x1,...,xn)⎛⎝⎜eλ1t...eλnt⎞⎠⎟⎛⎝⎜c1...cn⎞⎠⎟
=c1eλ1tx1+...+cneλntxn
A
二阶常系数线性微分方程
假设
eλt
是方程的解,则可以得特征方程,
若
λ1,λ2
为实数,则方程的通解为:
y=c1eλ1t+c2eλ2t
若
λ1,λ2
为共轭负数,即
λ1=α+iβ,λ2=α−iβ
,则方程的通解为:
y=eαt(c1cosβt+c2sinβt)
也可以使用矩阵表示为
dudx=Au
。
若
A
有相同特征值,则不能对角化(为什么?),可使用第一种方法,但要注意,若有
n
重根,则解为
t0eλt,....,tn−1eλt
。
微分方程的稳定性
我们知道若
A
可对角化,则
dudx=Au
有通解:
u(t)=c1eλ1tx1+...+cneλntxn
若所有的实数
λi<0
,则解是稳定的;
若所有的实数
λi≤0
,则解是中性稳定的;
若至少有一个的实数特征值
λi<0
,则解是不稳定的