【线性代数】特征值的物理意义

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对于矩阵$A$，其特征值为$\lambda$，特征向量为$b$，满足：

$$Ab=\lambda b$$

从几何意义来说，一个矩阵$A$定义了一个由旋转和缩放组成的线性变换。对于这个变换，存在某个特殊的向量$b$，其变换结果和原来共线。

这个结论初看难以想象，我们用简单的例子来展示。

【例1】考虑一个变换，对x,y坐标进行缩放。

$$A=\left[ \begin{matrix} k & 0 & 0\\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right]$$

xy平面上的向量$[a,b,0]$是该矩阵的特征向量，经过缩放后，和原向量共线。

【例2】考虑一个变换，将向量围绕矢量$r$旋转角度$\theta$。
和$r$共线的向量，在旋转后，仍然保持不变，是该矩阵的特征向量。

可以看到，特征向量实际表达了矩阵所代表的线性变换的特征。