线性代数——特征分解，特征值，特征向量

定义

设 $\bm A$ 是一个 $n$ 阶矩阵， $\lambda$ 是一个数，如果存在非零列向量 $\bm\alpha$ 使得：
$\bm A\bm\alpha=\lambda \bm\alpha$ 就称 $\lambda$ 是 $\bm A$ 的一个特征值， $\bm\alpha$ 是 $\bm A$ 的对应特征值 $\lambda$ 的特征向量，简称特征向量

例如，若 $\bm A= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$， $\bm\alpha= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$，则： $\bm{A\alpha}= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix}=-\bm\alpha$ ，因此 $\lambda=-1$ 就是矩阵 $\bm A$ 的特征值， $\bm\alpha$ 是对应的特征向量

性质

1. $n$ 阶矩阵 $\bm A$ 与其转置矩阵 $\bm A^T$ 有相同的特征值
2. 设 $n$ 阶矩阵 $\bm A=(a_{ij})_{n\times n}$ 的 $n$ 个特征值为 $\lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_n$，则有
   （1） $\bm A$ 的 $n$ 个特征值之和等于矩阵 $\bm A$ 的积，即：
   $\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}$（2） $\bm A$ 的 $n$ 个特征值之积等于矩阵 $\bm A$ 的行列式的值，即：
   $\lambda_1\lambda_2...\lambda_n=|\bm A|$

求解

例题：求矩阵 $\bm A$ 的特征值和特征向量，这里 $\bm A= \begin{pmatrix} -3 & 4 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 7 & 5 & 1 \end{pmatrix}$
$\bm A$ 的特征方程为：
$|\lambda \bm E-\bm A|= \begin{vmatrix} \lambda +3 & -4 & 0 \\ 1 & \lambda -1 & 0 \\ -7 & -5 & \lambda-1 \end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda+1)^2=0$ 所以 $\bm A$ 的特征值为 $1，-1$
将 $\lambda=1$ 带入齐次线性方程组 $(\lambda \bm E-\bm A)\bm X=\bm 0$ 中，得
$\begin{cases} 4x_1-4x_2=0 \\ x_1=0 \\ -7x_1-5x_2=0 \end{cases}$ 它的一个基础解系是：
$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
将 $\lambda=-1$ 带入齐次线性方程组 $(\lambda \bm E-\bm A)\bm X=\bm 0$ 中，得
$\begin{cases} 2x_1-4x_2=0 \\ x_1-2x_2=0 \\ -7x_1-5x_2-2x_3=0 \end{cases}$ 它的一个基础解系是：
$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -19 \end{pmatrix}$ 因此， $\bm A$ 的特征值为 $1, -1$，对应的特征向量分别是： $k_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $(k_1\ne 0)$ 和 $k_2\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -19 \end{pmatrix}$ $(k_2\ne 0)$

所有特征值都是正数的矩阵称为正定矩阵，所有特征值多少非负数的矩阵称为半正定矩阵。同样地，所有特征值都是负数的矩阵称为负定矩阵，所有特征值都是非正数的矩阵称为半负定矩阵。