基变换、特征向量和特征值

基变换

p.s.说明：在前面对于***矩阵↔线性变换***的等价关系建立了一定的直观印象后，对于空间基变换其实是较好理解的。读者此时可以进行回想，如果对于前面几个部分的内容掌握不太充分，可以对于视频或博文进行回顾。
因为基变换本身就可以从矩阵变换的角度来理解，故此部分的笔记内容会较为简略。

向量与基

一组基就确定了对向量进行表示的空间，而向量的表示就是基于这组基进行坐标表示。
选定的基不同，空间自然就不同，那么向量表示的坐标自然就不同。

我们的目标就是通过探讨一组基于一组基之间的线性变换关系，从而可以推导出两组不同基下的坐标表示之间的关系。

视角变换的思想

一般情况下，我们会默认传统的正交坐标系为标准的基选择，但其实对传统正交坐标系进行旋转，放缩或剪切变换后得到的依然是一个坐标系。

同样的一个坐标系或者坐标系中的基向量，从传统正交坐标系角度和变换后的新坐标系的角度来看，结果也是不一样的。

读者需要适应在这一节中反复提到的视角的变换。

上图中b1和b2就是变换后的坐标系的两个基向量，它在常规的正交坐标系中有相应的坐标表示。

上图是一个完全相同的坐标系表示，只不过这次从使用这个坐标系的人的视角出发，这两个向量在当前坐标系中就是基向量，坐标表示就是（1,0）和 (0,1)。

空间及其可视化

比如在二维中，我们进行坐标表示的时候通常会选择使用平行网格线进行可视化表示，这些网格只是给读者提供了一个空间认知的框架。
而实际上，空间本身是没有网格的。

每一个空间都是基于一组基人为制定出来的，那么上面那一组正交的平行网格线可以作为空间，下面这样的一组平行网格线同样也可以表示一个空间。

不同的坐标系有什么异同处吗？
①不同的坐标及其可视化，对于原点的认知是统一的，因为任何一个向量乘以0都会回到原点。

②但是不同的坐标表示，其网格线的间距以及偏斜的角度是不一样的。
这取决于基的选择。

不同坐标表示下的转换

①将一组基A下的坐标转换成另一组基B下的坐标——
核心思想就是将A中的基用B对应的坐标系进行表示，将该向量在A下的坐标表示变换成关于基A的线性组合，进行代换即可。

基A（坐标系A）下的向量表示

将坐标表示转换成基的线性组合

在坐标系B中基A的两个向量有其相应的坐标表示，进行相应的数乘和加运算，就能得到该向量在坐标系B中的坐标表示

②如果熟悉用列空间的角度来看待矩阵和矩阵乘法，不难发现，上面对于两个列向量进行线性组合的求解，本质上就可以等价为一个矩阵乘法。
矩阵的每一个列就是参与线性运算的列向量，而各个系数组成的列向量就是参与乘法运算的列向量。

③要得到在一个非标准坐标系下进行变换的矩阵复合描述

往往先将非常规坐标系的表示转换成常规坐标系，再在常规坐标系下进行相应的转换，最后再转变回到非常规坐标系中。

特征向量和特征值

变换后的向量是否留在原向量张成的空间中

向量张成的空间：通过原点和向量尖端的直线

针对一个矩阵A（假设是2x2维度的），考虑该矩阵代表的线性变换前后，空间中一些向量的变化——
①向量没有留在原向量张成的空间中【也就是经过变换之后，向量的偏离了其原本的方向】

如上图，红线和绿线分别代表经过变换之后基向量的位置，粉线代表原向量张成的空间，黄线代表经过变换后向量最终处于的位置。

②向量留在原向量张成的空间中

颜色表示的相应直线的含义与之前相同，不过这里黄线和粉线的方向是一致的，说明原向量经过矩阵变换之后只是进行了放缩。

以向量前后变换的角度来理解变换的线性性

如果存在一个向量经过矩阵变换之后，只是进行了数值的放缩，那么根据线性性，所有处在同一直线上的向量经过矩阵变换都只会进行相同比例的放缩。

特征向量与特征值的几何意义

①特征向量：那些能够在变换之后依然留在原向量所张成空间中的向量
②特征值：留在原向量空间中的向量进行放缩的比例因子

如果特征值中出现了负数，那么就说明这个向量的放缩因子是特征值的绝对值，而且向量进行了反向。

研究特征值和特征向量的重要性

总的来说，对一个矩阵考察其特征值和特征向量，可以从一个更加直观的角度去理解一个矩阵对应的变换和其意义。

①旋转变换（E.g.三维）
对于一个旋转矩阵，其特征向量应该就是其旋转轴所指向的方向，而其特征值应该只能为1。
因为对一个三维空间进行旋转变换，是不会影响空间中任意一个向量的伸缩情况的。

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②更好地理解线性变换
按照前面几篇文章的观点，我们把矩阵和线性变换进行了关联。但是在矩阵中，矩阵的每一列就是变换之后基向量的坐标表示，这样的表示方式对坐标系有很大程度的依赖。
然而，理解一个线性变换，往往不需要很多坐标系的相关知识。
更好的方法反而是求解出矩阵的特征值和特征向量，从而可以对一个变换对应的矩阵有更好的解释。