1. 引言
2. 准备知识
3. 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程
- 3.1 常系数齐次线性微分方程的解
- 3.2 Euler方程
4. 非齐次线性微分方程(比较系数法)
参考文献

1. 引言

　　本文主要讲常系数线性微分方程的特征值法做了总结。在文献[1]的4.2节，详细介绍了常系数线性微分方程的解法，对特征方程根的各种情况（实根或复根&根的重数）进行分类讲解，但由于分类过于仔细，使得读者对根的情况的记忆比较困难，本文致力于将特征根的各种情形统一处理，便于对微分方程解进行记忆.

2. 准备知识

　　本节所有的研究都是围绕着方程

\frac{d^{n} x}{d t^{n}} + a_{1} (t) \frac{d^{n - 1} x}{d t^{n - 1}} + \dots + a_{n - 1} (t) \frac{d x}{d t} + a_{n} (t) x = f (x) (1)

$\frac{d^nx}{d t^n}+a_1(t)\frac{d ^{n-1}x}{d t^{n-1}}+ \cdots +a_{n-1}(t)\frac{d x}{d t}+a_n(t)x=f(x) \qquad (1)$
进行的．其中

a_{i} (t) (i = 1, 2, \dots, n)

$a_i(t)(i=1,2,\cdots,n)$ 及

f (t)

$f(t)$ 都是区间

[a, b]

$[a, b]$ 上的连续函数.
如果{}

f (t) \equiv 0

$f(t)\equiv 0$ ，则方程(1)变为

\begin{matrix} (5) & \frac{d^{n} x}{d t^{n}} + a_{1} (t) \frac{d^{n - 1} x}{d t^{n - 1}} + \dots + a_{n - 1} (t) \frac{d x}{d t} + a_{n} (t) x = 0 (2) \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{d^nx}{d t^n}+a_1(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+ \cdots +a_{n-1}(t)\frac{d x}{d t}+a_n(t)x=0 \qquad (2) \end{equation}$
设

K = α +

$K=\alpha +$ i

β

$\beta$ 是任意复数，这里

α, β

$\alpha,\beta$ 是实数，

t

$t$ 为实变量，那么有

\begin{matrix} (6) & e^{K t} = e^{(α + i β) t} = e^{α t} (\cos β t + i \sin β t) (3) \end{matrix}

$\begin{equation}\label{dingyi} e^{Kt} = e^{(\alpha + \text{i}\beta )t}=e^{\alpha t}(\cos{\beta t} + \text{i}\sin{\beta t})\qquad (3) \end{equation}$
此公式可通过泰勒展开进行验证．
　　 定理1.1 如果方程(2)中所有系数

a_{i} (t) (i = 1, 2, \dots, n)

$a_i(t)(i=1,2,\cdots,n)$ 都是实值函数，而

x = z (t) = φ (t) + i ψ (t)

$x=z(t)=\varphi(t)+\text{i}\psi(t)$ 是方程的复值解，则

z (t)

$z(t)$ 的实部

φ (t)

$\varphi(t)$ ,虚部

ψ (t)

$\psi(t)$ 和共轭复数

\bar{z} (t)

$\overline{z}(t)$ 也都是方程(2)的解．
　　 定理1.2若方程

\frac{d^{n} x}{d t^{n}} + a_{1} (t) \frac{d^{n - 1} x}{d t^{n - 1}} + \dots + a_{n - 1} (t) \frac{d x}{d t} + a_{n} (t) x = u (t) + i v (t)

$\frac{d ^nx}{d t^n}+a_1(t)\frac{d ^{n-1}x}{d t^{n-1}}+ \cdots +a_{n-1}(t)\frac{d x}{d t}+a_n(t)x=u(t)+iv(t)$
有复值解

x = U (t) + i V (t)

$x=U(t)+\text{i}V(t)$ ，这里

a_{i} (t) (i = 1, 2, \dots, n)

$a_i(t)(i=1,2,\cdots,n)$ 及

U (t), V (t)

$U(t),V(t)$ 都是实函数，那么这个解的实部

U (t)

$U(t)$ 和虚部

V (t)

$V(t)$ 分别是方程

\frac{d^{n} x}{d t^{n}} + a_{1} (t) \frac{d^{n - 1} x}{d t^{n - 1}} + \dots + a_{n - 1} (t) \frac{d x}{d t} + a_{n} (t) x = u (t)

$\frac{d ^nx}{d t^n}+a_1(t)\frac{d ^{n-1}x}{d t^{n-1}}+ \cdots +a_{n-1}(t)\frac{d x}{d t}+a_n(t)x=u(t)$
和

\frac{d^{n} x}{d t^{n}} + a_{1} (t) \frac{d^{n - 1} x}{d t^{n - 1}} + \dots + a_{n - 1} (t) \frac{d x}{d t} + a_{n} (t) x = v (t)

$\frac{d ^nx}{d t^n}+a_1(t)\frac{d ^{n-1}x}{d t^{n-1}}+ \cdots +a_{n-1}(t)\frac{d x}{d t}+a_n(t)x=v(t)$
的解．
　　注：上面两个定理保证了下述内容的正确性． 定理1.1和定理1.2均来自文献[1].

3. 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程

3.1 常系数齐次线性微分方程的解

　　设齐次线性微分方程中所有系数都是常数，即方程有如下形状

\begin{matrix} (7) & L [x] \equiv \frac{d^{n} x}{d t^{n}} + a_{1} \frac{d^{n - 1} x}{d t^{n - 1}} + \dots + a_{n - 1} \frac{d x}{d t} + a_{n} x = 0 (4) \end{matrix}

$\begin{equation}\label{fangcheng3} L[x]\equiv \frac{d ^nx}{d t^n}+a_1\frac{d ^{n-1}x}{d t^{n-1}}+ \cdots +a_{n-1}\frac{d x}{d t}+a_nx=0 \qquad (4) \end{equation}$
其中

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为常数．
　　按照前面的理论，为了求方程(4)的通解，只需求其基本解组．回顾一阶常系数齐次微分方程

\frac{d x}{d t} + a x = 0

$\frac{d x}{d t}+ax=0$
已知，它有形如

x = e^{- a t}

$x=e^{-at}$ 的解，且其通解就是

x = c e^{- a t}

$x=ce^{-at}$ ．这就启发我们对方程(3)也去试求指数函数形式的解

\begin{matrix} (8) & x = e^{λ t} (5) \end{matrix}

$\begin{equation}\label{fangcheng4} x=e^{\lambda t}\qquad (5) \end{equation}$
其中

λ

$\lambda$ 是待定常数，可以是实数，也可以是复数．
　　注意到

\begin{aligned} L [e^{λ t}] & = \frac{d^{n} e λ t}{d t^{n}} + a_{1} \frac{d^{n - 1} e λ t}{d t^{n - 1}} + \dots + a_{n - 1} \frac{d e λ t}{d t} + a_{n} e λ t \\ = (λ^{n} + a_{1} λ^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} + a_{n}) e^{λ t} \equiv F (λ) e^{λ t} \end{aligned}

$\begin{align*} L[e^{\lambda t}] & =\frac{d ^n e{\lambda t}}{d t^n}+a_1\frac{d ^{n-1} e{\lambda t}}{d t^{n-1}}+ \cdots +a_{n-1}\frac{d e{\lambda t}}{d t}+a_n e{\lambda t} \\ &=(\lambda ^n +a_1\lambda ^{n-1} + \cdots + a_{n-1} + a_n)e^{\lambda t}\equiv F(\lambda)e^{\lambda t} \end{align*}$
其中

F (λ) = λ^{n} + a_{1} λ^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} + a_{n}

$F(\lambda)=\lambda ^n +a_1\lambda ^{n-1} + \cdots + a_{n-1} + a_n$ ，是

λ

$\lambda$ 的

n

$n$ 次多项式．式(5)为方程(4)的解的充要条件是

λ

$\lambda$ 是代数方程

\begin{matrix} (9) & F (λ) = λ^{n} + a_{1} λ^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} + a_{n} = 0 (6) \end{matrix}

$\begin{equation}\label{fangcheng5} F(\lambda)=\lambda ^n +a_1\lambda ^{n-1} + \cdots + a_{n-1} + a_n=0\qquad (6) \end{equation}$
的根．称(6)为方程(4)的特征方程，它的根就称为特征根．
　　设方程(4)的某一特征根为

λ (k

$\lambda(k$ 重,

k ⩾ 1)

$k\geqslant 1)$ ，则

k

$k$ 重特征根

λ

$\lambda$ 对应于方程(4)的

k

$k$ 个线性无关解为

e^{λ t}, t e^{λ t}, t^{2} e^{λ t}, \dots, t^{k} e^{λ t} .

$\begin{equation*} e^{\lambda t},te^{\lambda t},t^2e^{\lambda t},\cdots,t^ke^{\lambda t}. \end{equation*}$
当

λ

$\lambda$ 为复数时，只需用欧拉公式(3)转化，可得到

2 k

$2k$ 个解，而

λ

$\lambda$ 的共轭

\bar{λ}

$\overline{\lambda}$ 用此办法转化时，也得到相同的

2 k

$2k$ 个解，这与

λ

$\lambda$ 和

\bar{λ}

$\overline{\lambda}$ 对应

2 k

$2k$ 个解的事实相符．

3.2 Euler方程

　　形如

\begin{matrix} (10) & x^{n} \frac{d^{n} y}{d x^{n}} + a_{1} x^{n - 1} \frac{d^{n - 1} y}{d x^{n - 1}} + \dots + a_{n - 1} x \frac{d y}{d x} + a_{n} y = 0 (7) \end{matrix}

$\begin{equation}\label{Euler=function} x^n\frac{d ^ny}{d x^n} + a_1x^{n-1}\frac{d ^{n-1}y}{d x^{n-1}}+ \cdots +a_{n-1}x\frac{d y}{d x}+a_ny=0\qquad (7) \end{equation}$
的方程称为欧拉方程，这里

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为常数．以

y = x^{k}

$y=x^k$ 代入(7)，并约去因子

x^{k}

$x^k$ ，就得到用来确定

k

$k$ 的代数方程

\begin{matrix} (11) & k (k - 1) \dots (k - n + 1) + a_{1} k (k - 1) \dots (k - n + 2) + \dots + a_{n} = 0 (8) \end{matrix}

$\begin{equation}\label{fangcheng6} k(k-1)\cdots(k-n+1)+a_1k(k-1)\cdots(k-n+2)+\cdots+a_n=0\qquad (8) \end{equation}$
因此，方程(8)的

m

$m$ 重根

k_{0}

$k_0$ 对应于方程(7)的

m

$m$ 个解为

x^{k_{0}}, x^{k_{0}} \ln | x |, x^{k_{0}} \ln^{2} | x |, \dots, x^{k_{0}} \ln^{m - 1} | x | .

$\begin{equation*} x^{k_0}, x^{k_0}\ln|x|, x^{k_0}\ln^2|x|, \cdots, x^{k_0}\ln^{m-1}|x|. \end{equation*}$
当为复数时，只需使用欧拉公式转换即可．

4. 非齐次线性微分方程(比较系数法)

　　下面讨论常系数非齐次线性微分方程

\begin{matrix} (12) & L [x] \equiv \frac{d^{n} x}{d t^{n}} + a_{1} \frac{d^{n - 1} x}{d t^{n - 1}} + \dots + a_{n - 1} \frac{d x}{d t} + a_{n} x = f (t) (9) \end{matrix}

$\begin{equation}\label{fangcheng7} L[x]\equiv \frac{d ^nx}{d t^n}+a_1\frac{d ^{n-1}x}{d t^{n-1}}+ \cdots +a_{n-1}\frac{d x}{d t}+a_nx=f(t)\qquad(9) \end{equation}$
的解．这里

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是常数，

f (t)

$f(t)$ 是连续函数．

4.1 形式 I

　　设 $f(t) = (b_0t^m + b_1t^{m-1} +\cdots+ b_{m-1}t + b_m)e^{\lambda t}$ ，其中 $\lambda$ 及 $b_i(i=1,2,\cdots,n)$ 为实常数．则方程(9)有形如

\begin{matrix} (13) & \tilde{x} = t^{k} (B_{0} t^{m} + B_{1} t^{m - 1} + \dots + B_{m - 1} t + B_{m}) e^{λ t} (10) \end{matrix}

$\begin{equation}\label{fangcheng8} \tilde{x} = t^k(B_0t^m + B_1t^{m-1} +\cdots+ B_{m-1}t + B_m)e^{\lambda t}\qquad(10) \end{equation}$
的特解．其中

k

$k$ 为特征方程

F (λ) = 0

$F(\lambda)=0$ 的根

λ

$\lambda$ 的重数(

λ

$\lambda$ 不是特征根时认为是

0

$0$ 重)．而

B_{0}, B_{1}, \dots, B_{m}

$B_0,B_1,\cdots,B_m$ 是待定常数，只需将

\tilde{x}

$\tilde{x}$ 代入原方程，比较对应项的系数即可计算出

B_{0}, B_{1}, \dots, B_{m}

$B_0,B_1,\cdots,B_m$ ，也即求出了方程(9)的特解．

4.2 形式 II

　　设 $f(t) = [A(t)\cos\beta t + B(t)\sin\beta t]e^{\alpha t}$ ．其中 $\alpha,\beta$ 为常数，而 $A(t),B(t)$ 是关于 $t$ 的实系数多项式， $A(t)$ 与 $B(t)$ 的次数为 $m$ ．则方程(9)有形如

\begin{matrix} (14) & \tilde{x} = t^{k} [P (t) \cos β t + Q (t) \sin β t] e^{α t} (11) \end{matrix}

$\begin{equation}\label{fangcheng9} \tilde{x} = t^k[P(t)\cos\beta t+Q(t)\sin\beta t]e^{\alpha t}\qquad(11) \end{equation}$
的特解．这里

k

$k$ 是为特征方程

F (λ) = 0

$F(\lambda)=0$ 的根

α + i β

$\alpha+\text{i}\beta$ 的重数，而

P (t), Q (t)

$P(t),Q(t)$ 均为待定的带实系数的次数不超过

m

$m$ 的

t

$t$ 的多形式，将(11)代回(9)，通过比较对应项的系数即可求出

P (t), Q (t)

$P(t),Q(t)$ ，也即求出了方程(9)的特解．

4.3 Euler方程的另一种解法

　　可用变换 $x=e^t(\text{即} t=\ln x)$ 将Euler方程(7)转化为前述的非齐次线性微分方程，即可求解．

参考文献

[1] 王高雄等. 常微分方程(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.

特征值法解常系数线性微分方程解法总结