线性方程 \(Ax=b\) 是稳定状态的问题，特征值在动态问题中有着巨大的重要性。\(du/dt=Au\) 的解随着时间增长、衰减或者震荡，是不能通过消元来求解的。接下来，我们进入线性代数一个新的部分，基于 \(Ax=\lambda x\)，我们要讨论的所有矩阵都是方阵。
1. 特征值和特征向量
几乎所有的向量在乘以矩阵 \(A\) 后都会改变方向，某些特殊的向量 \(x\) 和 \(Ax\) 位于同一个方向，它们称之为特征向量。
\[Ax = \lambda x\]
数字 \(\lambda\) 称为特征值。它告诉我们在乘以 \(A\) 后，向量是怎么被拉伸、缩小、反转或者不变的。 \(\lambda = 0\) 意味着特征向量存在于矩阵的零空间中。任意向量都是单位矩阵的特征向量，因为 \(Ix=x\)，其特征值为 1。
要计算特征值的话，我们只需要知道 \(det (A-\lambda I)=0\) 即可。
如果 \(x_1\) 乘以 \(A\) 的话，我们仍然得到 \(x_1\)，任意 \(A\) 的乘方仍然得到 \(A^nx_1=x_1\) 。如果 \(x_2\) 乘以 \(A\) 的话，我们得到 \(\frac{1}{2}x_2\)，再乘以 \(A\) 我们得到 \((\frac{1}{2})^2x_2\)。
当 \(A\) 被平方的时候，其特征向量不变，特征值也变为平方。
这种模式将会继续保持，因为特征向量一直待在他们自己的方向，不会改变。
其它向量都会改变方向，但它们可以表示为特征向量的线性组合。
当我们将这个向量乘以 \(A\) 后，每个特征向量都乘以了它们对应的特征值。
利用这个特性，我们可以进行 99 次乘法。
特征向量 \(x_1\) 处于稳定状态，因为 \(\lambda_1=1\)，所以它不会改变。特征向量 \(x_2\) 处于衰减状态，因为 \(\lambda_2=0.5\)，乘方次数很大时，它就相当于消失了。
上述这个特殊的矩阵是一个马尔科夫矩阵，它的每个元素都为正并且每一列相加之后和为 1，这保证了它的最大特征值为 1。
对于投影矩阵，它的特征值为 0 和 1。\(\lambda = 1\) 对应于稳定状态，投影矩阵将列空间的所有向量都投影到列空间中去，也即还是它自身，\(Px_1 = x_1\)。\(\lambda = 0\) 对应于零空间，投影矩阵将零空间的所有向量都投影到零向量，\(Px_2 = \boldsymbol 0\)。
对于镜像矩阵，它的特征值为 1 和 -1。\(\lambda = 1\) 说明乘以矩阵 \(R\) 后特征向量 \(x_1\) 不变，\(\lambda = -1\) 说明乘以矩阵 \(R\) 后特征向量 \(x_2\) 变为相反方向。
同时，由于 \(R = 2P-I\)，因此投影矩阵和镜像矩阵有着相同的特征向量。如果 \(Px=\lambda x\)，那么
\[(2P-I)x = 2Px-Ix = (2\lambda -1)x\]
2. 特征值的计算
\[Ax=\lambda x \to (A-\lambda I) x = \boldsymbol 0\]
如果上述式子有非零解，那么 \(A-\lambda I\) 是奇异的，也就是行列式为零。因此，我们先通过下式求出特征值。
\[det(A-\lambda I)=0\]
然后，针对每个特征值，再通过求解 \((A-\lambda I)x=\boldsymbol 0\) 来找到特征向量。
一些 \(2×2\) 矩阵可能只有一个特征向量，这时候，它的两个特征值相同。同理，\(n×n\) 的矩阵如果没有 \(n\) 个线性不相关的特征向量，那么就不能将任意一个向量都表示为特征向量的线性组合。
消元过程通常会改变矩阵的特征值，三角型矩阵 \(U\) 的对角线元素即为特征值，但它们不是矩阵 \(A\) 的特征值。
但是，我们可以从矩阵中很快地就发现特征值的乘积以及和。
\(n\) 个特征值的乘积就是矩阵的行列式值。\(n\) 个特征值的和就是矩阵 \(n\) 个对角线元素的和。
主对角线上元素的和称为矩阵的迹（trace）。
另外，特征值也可能会不是实数。
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