前言
前面主要讲述的是方程组和矩阵的关系，现在了解下矩阵和矩阵的关系
方阵的特征值与特征向量
假设A为n阶方阵，对于一个数 λ \lambda λ
若存在：非零列向量 α \alpha α，使得： A α ⃗ = λ α ⃗ A\vec{\alpha}=\lambda\vec{\alpha} Aα=λα
-
λ \lambda λ叫做矩阵A的一个特征值
-
α ⃗ \vec{\alpha} α叫做对应特征值的特征向量
- 由于 α ⃗ \vec\alpha α是非零列向量
- 把 λ \lambda λ作为未知量， A − λ E = 0 A-\lambda E = 0 A−λE=0
- 因为存在 λ \lambda λ解 => ∣ A − λ E ∣ = 0 |A-\lambda E| = 0 ∣A−λE∣=0
求解特征方程
给一个n阶矩阵A写出特征矩阵
( 4 − 2 1 1 ) − ( λ 0 0 λ ) = ( 4 − λ − 2 1 1 − λ ) \begin{pmatrix} 4 & -2\\ 1 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0\\ 0 & \lambda\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4- \lambda & -2\\ 1 & 1-\lambda\end{pmatrix} (41−21)−(λ00λ)=(4−λ1−21−λ)
将特征矩阵转为特征行列式
∣ 4 − λ − 2 1 1 − λ ∣ = − ∣ 1 1 − λ 4 − λ − 2 ∣ = − ∣ 1 1 − λ 0 − 2 − ( 1 − λ ) ∗ ( 4 − λ ) ∣ = 0 \begin{vmatrix} 4- \lambda & -2\\ 1 & 1-\lambda\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 1 & 1-\lambda\\ 4- \lambda& - 2\end{vmatrix} =-\begin{vmatrix} 1 & 1-\lambda\\ 0 & -2-(1-\lambda) *(4- \lambda) \end{vmatrix} = 0
4−λ1−21−λ
=−
14−λ1−λ−2
=−
101−λ−2−(1−λ)∗(4−λ)
=0
求出根
λ 2 − 5 λ + 6 = 0 ⟹ λ 1 = 2 , λ 2 = 3 \lambda^2-5\lambda + 6 =0 \Longrightarrow \lambda_1=2 ,\lambda_2=3 λ2−5λ+6=0⟹λ1=2,λ2=3
求解特征值对应的特征向量
- 将 λ 1 = 2 , λ 2 = 3 \lambda_1=2 ,\lambda_2=3 λ1=2,λ2=3 代入 （ A − λ E ） α ⃗ = 0 （A-\lambda E）\vec{\alpha} = 0 （A−λE）α=0
基本性质
- 特征值和特征向量，就是类似于 给“坐标” 求他的坐标系的问题。
- 特征值 λ \lambda λ用于消除“坐标”某一维度，得到 特征向量为这一维度的 “坐标系”
- 如果出现了 λ \lambda λN重根，则得到的特征向量 “坐标系” 包含N个维度
- 方阵的行列式=方阵的全部特征值之积
- 方阵主对角线元素之和=方阵的全部特征值之和
相似矩阵
相似矩阵的定义，可以用坐标系变换的视角来理解
- 需要把：A和B看做是两个变换
- 那么 A = P − 1 B P A=P^{-1}BP A=P−1BP具体是指：
- A是P坐标系下的一个<变换>
- 该<变换>若在标准坐标系下观察则是B变换
例如：在标准坐标系下有一个伸缩变换为B,在P坐标系下相同的伸缩变换观察到的是A
若A和B相似，因观察的视角不同，但本质是相同的变换
相似矩阵的性质
若A和B相似，即 A ∽ B B ∽ A A \backsim B \quad B \backsim A A∽BB∽A
- 相似矩阵的行列式值相同
- 相似矩阵的特征值相同
- 相似矩阵的秩相同
- 相似矩阵的迹相同
- 相似矩阵的可逆性相同
主要参考
《11.3 求解特征值和特征向量（基础解系法）》
《11.4 特征值与特征向量的性质》
《11.5特征值与矩阵的迹》
《1.6 特征根的代数重数与几何重数》
《11.7 相似矩阵到底在说什么》
《证明：特征值之和等于迹，特征值之积等于行列式》