问题 1438: [蓝桥杯][2013年第四届真题]大臣的旅费
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题目描述
很久以前，T王国空前繁荣。为了更好地管理国家，王国修建了大量的快速路，用于连接首都和王国内的各大城市。
为节省经费，T国的大臣们经过思考，制定了一套优秀的修建方案，使得任何一个大城市都能从首都直接或者通过其他大城市间接到达。同时，如果不重复经过大城市，从首都到达每个大城市的方案都是唯一的。
J是T国重要大臣，他巡查于各大城市之间，体察民情。所以，从一个城市马不停蹄地到另一个城市成了J最常做的事情。他有一个钱袋，用于存放往来城市间的路费。
聪明的J发现，如果不在某个城市停下来修整，在连续行进过程中，他所花的路费与他已走过的距离有关，在走第x千米到第x+1千米这一千米中（x是整数），他花费的路费是x+10这么多。也就是说走1千米花费11，走2千米要花费23。
J大臣想知道：他从某一个城市出发，中间不休息，到达另一个城市，所有可能花费的路费中最多是多少呢？
输入
输入的第一行包含一个整数n，表示包括首都在内的T王国的城市数
城市从1开始依次编号，1号城市为首都。
接下来n-1行，描述T国的高速路（T国的高速路一定是n-1条）
每行三个整数Pi, Qi, Di，表示城市Pi和城市Qi之间有一条高速路，长度为Di千米。
输出
输出一个整数，表示大臣J最多花费的路费是多少。
样例输入
5 1 2 2 1 3 1 2 4 5 2 5 4
样例输出
135
分析：该题目题意就是要求树的直径。
求树直径原理：以任意点w开始，先做一次DFS（BFS），找到最远点v，然后以此点v，进行一次DFS（BFS），找到最远点u，u到v就是树的直径，记做d(u,v)。证明：
1) 如果w 是直径上的点，则v显然是直径的终点(因为如果v不是的话，则必定存在另一个点x使得w到x的距离更长，则与d(u,v)为直径冲突)
2）如果w不是直径上的点，则w到v必然于树的直径相交(反证),那么交点到v 必然就是直径的后半段了,所以v一定是直径的一个端点，所以从v进行DFS得到的一定是直径长度
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct EDGE{
int v,w,next;
}head[100009];
int u,ans,h[100009] ,cnt=0,vis[100009];
void add( int u ,int v ,int w ){
head[cnt].next = h[u];
head[cnt].v = v;
head[cnt].w = w;
h[u] = cnt++;
}
void dfs( int vv ,int val ){
if( val > ans ){
ans = val;
u = vv;
}
vis[vv] =1;
for( int uu = h[vv] ;uu!=-1 ;uu=head[uu].next ){
if( !vis[ head[uu].v ] ){
vis[ head[uu].v ]=1;
dfs( head[uu].v ,val+head[uu].w);
}
}
}
int main(void){
int n,a,b,c;
cin>>n;
fill(h,h+n+1,-1);
for( int i=1;i<n;i++){
cin>>a>>b>>c;
add(a,b,c);
add(b,a,c);
}
ans=-1;
dfs( 1 ,0) ;
ans=-1;
fill(vis,vis+n+1,0);
dfs( u ,0) ;
cout<<( ans * 10 + (1 + ans) * ans / 2 )<<endl;
return 0;
} 