题目描述
小明开了一家糖果店。他别出心裁：把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。糖果不能拆包卖。
小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。
你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。
本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。
输入
两个正整数，表示每种包装中糖的颗数(都不多于1000)
输出
一个正整数，表示最大不能买到的糖数
样例输入
4 7
样例输出
17
通过读题过后，不难理解，题目无非就是求： x = a * num1 + b * num2, x无法满足的最大数
这里写上两个解法：
1）
通过在草稿纸上进行演算，类似写递推公式，发现一个规律
比如：输入4 7
x取20 int temp = 21 / 7; // temp = 3
可以发现21 = 37+04（满足）
22 = 27 + 24
23 = 17 + 44
24 = 07 + 64
25 = 37+ 14
…
temp = 28/7; // temp = 4;
28 = 47 + 04；
29
.
.
.
.
也就是说，对于一个数，只需要判断 temp 次 是否有成立的
接着循环的最大值 x只可能小于num1*num2
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in
);
while (scanner.hasNext()) {
int a = scanner.nextInt();
int b = scanner.nextInt();
int result=0;
int c = 0;
if(a>b){ //如果输入的a>b,交换两者的值，使b的值更大
int temp =a;
a=b;
b=temp;
}
for(int i=1;i<a*b;i++){
int temp =i/b;
//获得需要判断的次数 如输入4 7 当i=50 temp=50/7 temp=7只需要判断七次是否有满足的情况
boolean flag=true; //用来判断这几次中是否 都无法满足
for(int j=temp;j>=0;j--){
if((i-j*b)%a!=0){
c=i;
}else{
flag=false;
break;
}
}
if(flag){
result=c;
}
}
System.out.println(result);
}
}
}
2)网上别人的解法
转载来自 https://blog.csdn.net/qq_34594236/article/details/51484249
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int a = sc.nextInt();
int b = sc.nextInt();
System.out.println(a*b-a-b);
}
}
就这样直接就AC了 ······
我和我的小伙伴都惊呆了
自然数a,b互质,则不能表示成ax+by（x,y为非负整数）的最大整数是ab-a-b.
证明：
a或者b是1的情况下容易证明.
以下情况都是a>1且b>1的情况.
首先证明ab-a-b不能表示成ax+by
假设ab-a-b=ax+by,那么ab=am+bn (m,n都大于等于1)
左边是a的倍数,右边am是a的倍数,那么要求bn也要是a的倍数
b不是a的倍数,只能要求n是a的倍数,这样的话,bn=bn’a>=ba
那么am=ab-bn所以am1矛盾.
接着证明ab-a-b+i能表示成ax+by(i>0)
因为ab互质,最大公约数就是1,根据辗转相减的方法知ma+nb=1,
不妨假设m>0,n1(m=0意味着nb=1不可能的),所以ab-a-b+i(ma+nb)=(im-1)a+(a+in-1)b
im-1>0,现在只要证明a+in-1>=0,因为ima+inb=i
如果,|in|>ja其中j>0,那么ima=i+|in|b>jab,所以im>jb
所以ima+inb=(im-jb)a-(|in|-ja)b=i,说明|in|>ja时,我们就能调整im,in使得|in|
很显然，题目中没有说明两个数字是互质，如果是2和4 ，通过程序得出的结果是2。
这个结果显然是错误的。但是很明显oj并没有设置这样的数。。。
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时隔数月，回来继续补充一下这道题目的求解。
题目中给出a个b，
1、我假装大家都知道贝祖等式：ax+by = gcd(a,b)。证明略。我们可以求出这个特解，然后求出ax+by = c的通解。
2、这里，题目要求的是有负整数解时（x，y中有负数）c最大是多少。
3、ax+by = c要有解时，则当 gcd(a,b)|c （c%gcd(a,b) == 0）时，该方程才有解。明显，当gcd(a,b) 不为1时，方程无解的情况是无穷多个的，因此不存在最大不能组合的数。
4、我们总能求出x和y的一个特解，即把贝祖等式求解后的x和y，但是x和y的解可以是负数解。
5、显然这里x和y不能为负数，因此，该题目的问题得以有解答。求最大不能组合的数。
6、这里又有一条定理：当gcd(a,b) == 1 时（a和b互质），当c>ab-a-b时，方程ax+by = c有非负解。所以最大不能组合出的数目就是 ab-a-b 。这里假设大家都知道这条定理，当然不知道也没关系，至少现在你知道了，可以自己试着证明一下，参考上面证明过程。