[LeetCode] 1025、除数博弈

题目描述

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

• 选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
• 用 N - x 替换黑板上的数字 N 。

如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

解题思路

博弈问题，两种解题思路：

• 归纳法：神仙解法，记一下这个解法即可。

  • 首先明确：最终结果应该是占到 2 的赢，占到 1 的输；
  • 若当前为奇数，奇数的约数只能是奇数或者 1，因此下一个一定是偶数；
  • 若当前为偶数， 偶数的约数可以是奇数可以是偶数也可以是 1，因此直接减 1，则下一个是奇数；
  • 因此，偶则赢（爱丽丝只需一直选1，使鲍勃一直面临N为奇数的情况，这样爱丽丝稳赢），奇则输（爱丽丝第一次选完之后N必为偶数，那么鲍勃只需一直选1就会稳赢）。

• 动态规划：正常思路

  • 设dp[n]表示：当黑板上的数字为n时，此时正在玩游戏的人的输赢情况。（必输或者必赢，因为题目中说了“两个玩家都以最佳状态参与游戏”）

  • 如果在Alice取了数字x,，那么显然dp[n]与dp[n-x]输赢情况相反。x可以取的值很多，只要dp[n-x_i]中任意一个为False， 那么dp[n]肯定为True，否则dp[n]肯定为False。

  • 初始化：dp[1] = False，dp[2] = True。

  • 返回值：dp[N]

参考代码

归纳法

class Solution:
    def divisorGame(self, N: int) -> bool:
        return N % 2 == 0

动态规划法

class Solution {
public:
    bool divisorGame(int N) {
        if(N == 1) return false;
        if(N == 2) return true;
        
        bool dp[N + 1];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[1] = false, dp[2] = true;
        for(int i = 3; i <= N; i++){
            for(int j = 1; j < i; j++){
                if(i % j == 0 && !dp[i - j]){
                    dp[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }
        
        return dp[N];
    }
    
};