【数论·同余】扩展欧几里得Exgcd算法与线性同余方程求解

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扩展欧几里得算法Exgcd

Exgcd算法内容

给定 $a,b,c,d$,求解 $ax\ +by\ =\ gcd(a,b)$中的任意正数解 $(x,y)$

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Exgcd求解一组整数解

我们可以根据裴蜀定理，证明方程一定有解。

由于欧几里得算法 $gcd(a,b)\ =\ gcd(b,a\ \%\ b)$,则有：
$ax\ +by\ =bx\ +\ (a\ \%\ b)*y$

用除法代替取模，则： $ax\ +by\ =bx'+y'(a-[a/b]*b)$

通过乘法分配律和结合律的运算可得： $ax+by=ay'+b(x'-[a/b]*y')$

其中， $x'$和 $y'$是方程 $bx+y(a-[a/b]*b)=gcd(b,a\%b)$的解，用来借助这个已经求得的 $x'$和 $y'$结合已知的 $a$和 $b$推得现在的解 $x,y.$其中 $a$和 $b$不变。我们可以通过递归来求。

递归的边界：
$ax+by=gcd(a,0)$时，即 $b=0$时， $x=1\ y=0.$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int x,y;
int exgcd(int a,int b)
{
	if (b==0) 
	{ 
	    x=1; 
		y=0; 
		return a; 
	}
	int n=exgcd(b,a%b);
	int t=x;
	x=y; 
	y=t-a/b*y;
	return n;
}
int main(void)
{
	int a,b;
	cin>>a>>b;
	cout<<exgcd(a,b)<<endl;//这里输出最大公约数
	cout<<x<<' '<<y<<endl;//这个输出方程ax+by=gcd(a,b)的解
	return 0;
}

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Exgcd算法拓展

根据裴蜀定理，我们可以得到如下方程的解：

$ax\ +\ by\ =\ c,\ gcd(a,b)\ |\ c$

因此在代码实现上，我们递归到了边界是换一个处理，令 $x\ =\ c/gcd(a,b),\ y\ =\ 0$。

代码实现和上述代码基本相似。

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Exgcd算法通解

对于方程 $ax\ +\ by\ =\ c,\ gcd(a,b)\ |\ c$来说，如果有一组解 $(x_0,y_0)$,我们可以用含有 $x_0$和 $y_0a$来解释这一个方程的通解。
我们可以通过相乘再相加抵消，来证明这一串代数式属于Exgcd算法的通解：
$(x_0\ +\ k*\frac{b}{gcd(a,b)}\ \ \ \ \ \ ,\ \ \ \ \ \ y_0\ +\ k*\frac{a}{gcd(a,b)})$

显然，两个数字乘上 $a,b$以后再相加，结果一定等于 $x_0+y_0$ 。 $k$取任意整数。

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线性同余方程

线性同余方程的一组解

现在我们需要求解有关 $x$的线性同余方程： $a\ *\ x\ \equiv\ b\ (mod\ m)$
变形一下，就变成了： $a*x\ -\ b\ \equiv\ 0\ \ \ (mod\ m)$

然后我们就可以发现 $a*x\ -\ b$一定是 $m$的倍数，因此我们设是 $m$的 $-y$倍，则可以将同余式变形为等式：
$a*x\ -b\ =\ -y*m\Longrightarrow a*x+y*m\ =\ b$
现在我们就变形为了一个扩展欧几里得算法的形式，即可运用上述算法求出对应的解 $x$。

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线性同余方程的通解

我们知道扩展欧几里得的通解形式是：
$(x_0\ +\ k*\frac{b}{gcd(a,b)}\ \ \ \ \ \ ,\ \ \ \ \ \ y_0\ +\ k*\frac{a}{gcd(a,b)})$

再结合线性同余方程的欧几里得式：
$a*x+y*m\ =\ b$

我们考虑对每一个 $x$求出通解:

• 不难知道在这里m就是通解形式中的b，而任意一个数加上了 $k*\frac{m}{gcd(a,m)}$以后，一定有：
  $k*\frac{m}{gcd(a,m)} \equiv\ x$
  因此只要满足 $\frac{m}{gcd(a,m)}$与x同余的数就是方程的通解。

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线性同余方程的最小正整数解

我们知道了方程的通解，则另 $P\ =\ \frac{m}{gcd(a,m)}$,对于任意一个整数解 $x_0$,则有最小正整数解： $x\ =\ (x\ \%\ P\ +\ P)\ \%\ P$

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小结

Exgcd和线性同余方程是一个数论的模型，要熟记结论，灵活应用。许多的扩展和变形要需要以这两个算法为根本。