8.14 数论 - 扩展欧几里得定理 与 同余方程

扩展欧几里得定理用于解方程 ax + by = gcd（a，b）

int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
  if (!b) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  int d = Exgcd(b, a % b, x, y);
  int t = x;
  x = y;
  y = t - (a / b) * y;
  return d;
}

证明见：https://oi-wiki.org/math/gcd/

通过欧几里得定理构造等价的方程，进行递归求解；

线性同余方程：

形如 ax ≡ c（mod b）的方程；

1. 等价： 等价于 ax + by = c ，两边同时取余就一样了

2. 判定条件：exgcd 可求 ax + by = gcd（a，b）的解 ，所以c是gcd（a，b）的整数倍时，时方程ax + by = c 有解

3. 通解： 求解后可根据原方程构造通解： x + k*b/gcd ，y - k*a/gcd

4.最小正整数解： 根据通解的形式 ，可得x的最小正整数解为 （x%t + t）%t ，t = b/gcd；

int ex_gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
  if (b == 0) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  int d = ex_gcd(b, a % b, x, y);
  int temp = x;
  x = y;
  y = temp - a / b * y;
  return d;
}
bool liEu(int a, int b, int c, int& x, int& y) {
  int d = ex_gcd(a, b, x, y);
  if (c % d != 0) return 0;
  int k = c / d;
  x *= k;
  y *= k;
  return 1;
}