#（数论，扩展欧几里得，同余方程）洛谷P1082 同余方程（普及+/提高）

题目描述

求关于xx的同余方程 a x \equiv 1 \pmod {b}ax≡1(modb) 的最小正整数解。

输入格式

一行，包含两个正整数 a,ba,b，用一个空格隔开。

输出格式

一个正整数 x_0x0​，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

输入输出样例

输入 #1复制

3 10

输出 #1复制

7

说明/提示

【数据范围】

对于 40%的数据，2 ≤b≤ 1,0002≤b≤1,000；

对于 60%的数据，2 ≤b≤ 50,000,0002≤b≤50,000,000；

对于 100%的数据，2 ≤a, b≤ 2,000,000,0002≤a,b≤2,000,000,000。

NOIP 2012 提高组 第二天 第一题

AC code:

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
// ax=1(mod b)
//ax+by=1;
using namespace std;
int a,b,x,y;
int gcd(int x,int y)
{
if(y==0)
return x;
else
return gcd(y,x%y);
}
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//calc ax+by=gcd(a,b);
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
int g=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return g;
}
int main()
{
cin>>a>>b;
int tmp=b/gcd(a,b);
exgcd(a,b,x,y);
while(x<=0)
x+=tmp;
cout<<x;
return 0;

}

问题转化

题目问的是满足 ax \mod b = 1axmodb=1 的最小正整数 $x$。（$a,b$是正整数）

但是不能暴力枚举 $x$，会超时。

把问题转化一下。观察 ax \mod b = 1axmodb=1，它的实质是 $ax+by=1$：这里 $y$ 是我们新引入的某个整数，并且似乎是个负数才对。这样表示是为了用扩展欧几里得算法。我们将要努力求出一组 $x,y$ 来满足这个等式。稍微再等一下——

问题还需要转化。扩展欧几里得是用来求 $ax+by=gcd(a,b)$ 中的未知数的，怎么牵扯到等于 $1$ 呢？

原理是，方程 $ax+by=m$ 有解的必要条件是 m \mod gcd(a,b) = 0mmodgcd(a,b)=0。

---

这个简单证一下。

由最大公因数的定义，可知 $a$ 是 $gcd(a,b)$ 的倍数，且 $b$ 是 $gcd(a,b)$ 的倍数，

若 $x,y$ 都是整数，就确定了 $ax+by$ 是 $gcd(a,b)$ 的倍数，

因为 $m=ax+by$，所以 $m$ 必须是 $gcd(a,b)$ 的倍数，

那么 m \mod gcd(a,b) = 0mmodgcd(a,b)=0。

---

可得出在这道题中，方程 $ax+by=1$ 的有解的必要条件是 1 \mod gcd(a,b) = 01modgcd(a,b)=0。可怜的 $gcd(a,b)$ 只能等于 $1$ 了。这实际上就是 $a,b$ 互质。

扩展欧几里得

前提是知道了普通欧几里得算法（辗转相除法）。下面字母挺多，希望你耐心地慢慢地读~

我们拿到了一组 $a,b$。目标是求出满足 $ax+by=gcd(a,b)$ （①） 的整数 $x$ 与 $y$。其中 $x$ 应当是满足条件的最小正整数，它会成为答案，$y$ 是辅助答案。

（注意，虽然刚刚已经证明本题的 $gcd(a,b)$ 必然等于 $1$，但是扩展欧几里得算法本身过程求的是 $ax+by=gcd(a,b)$ 的解。它正好非常适合本题，不过我们要按照它求解的过程去做）

根据普通欧几里得算法，gcd(a,b) = gcd(b, a\mod b)gcd(a,b)=gcd(b,amodb) （②）。

如果我们先前已经求出了另一组数 $x^2,y^2$，它们满足 bx_2 + (a \mod b)y_2 = gcd(b, a \mod b)bx2​+(amodb)y2​=gcd(b,amodb) （③），（提示一下，这个等式与①的结构一致，系数则是根据②替换的。此处的递归形态已经有所显露，别着急）

结合②③，一定有

bx_2 + (a \mod b)y_2bx2​+(amodb)y2​

=gcd(b, a \mod b)=gcd(b,amodb)

$=gcd(a,b)$

在这个“如果”实现的时候，我们的目标变成了

求出满足 ax + by = bx_2 + (a \mod b)y_2ax+by=bx2​+(amodb)y2​ （④）的 $x$ 与 $y$。

其中$a,b,x^2,y^2$ 都已知，$x,y$待求。未知数比方程更多，没有唯一解。我们先求出一组必然存在的解，最后将在答案处理时转变为使正整数 $x$ 最小的解。

取模运算是 a \mod b = a - b×(a/b)amodb=a−b×(a/b)，能理解吧？

等式④实际上是：

$ax+by=b{x}^2+(a-b\times (a/b))y^2$

$ax+by=b{x}^2+a{y}^2-b\times (a/b)y^2$

$ax+by=a{y}^2+b(x^2-(a/b)y^2)$

看上面这个方程，一组必然存在的解出现了！

$x=y^2,y=x^2-(a/b)y^2$ ⑤

可见我们只要求出 $x^2,y^2$，就能得出正确的$x,y$。问题是 $x^2,y^2$ 怎么求。

脑海里抛掉前面的$x,y$，现在我们手上是 b,a \mod bb,amodb 这两个系数，而目标是求出满足 bx_2 + (a \mod b)y_2 = gcd(b,a \mod b)bx2​+(amodb)y2​=gcd(b,amodb)（③）的 $x^2$ 与 $y^2$，以便于待会回馈给⑤。

等一下。

比较于③，我再去看看原方程①：

$ax+by=gcd(a,b)$ （①）

原方程中的 $a$ 变成了③中的 $b$，原方程中的 $b$ 变成了③中的 a \mod bamodb 而已。

按照上面的一模一样下来（其实都只是推导过程），我们发现，最好有 $x^3,y^3$ 来支撑 $x^2,y^2$。

再一模一样下来，我们又需要 $x^4,y^4$ 来支撑 $x^3,y^3$。

……

这个递归中 $a,b$ 不断变成 b, a \mod bb,amodb，逼近最后：

$b$ 将等于最早的 $a,b$ 的最大公因数，就像普通 $gcd$ 的结果。

但我们再往下一层。此时由于 a \mod b = 0amodb=0，下一层的 $b=0$。

是时候直接回馈了，我们需要一组 $x^n,y^n$ 满足 $a^n{x}^n+b^n{y}^n=gcd(a^n,b^n)$。

然而本层的 $b^n=0$，则 $gcd(a^n,b^n)=gcd(a^n,0)=a^n$。那么只要等式左边取 $x^n=1$，这个等式就妥妥的成立了。

最后一层回馈的 $y^n$ 建议用 $0$，但由于 $b=0$，回馈其它数值等式一定也成立。意料之外的是，这样的程序有时候会求错解。如果回馈 $3$，那么你将收获 $70$ 分的好成绩。如果回馈 $-20002$，那么你将收获 $40$ 分的好成绩。为什么呢？

原因仅仅是，被回馈（却与 $0$ 等效）的 $y^n$ 在回溯时滚雪球式增长，容易数值越界。下面的代码在最后一层令 $y=7$，开了long long，没有出问题。

最后一层结束后，就开始返回，直到最上层。每一层可以轻松地根据下层的 $x^{k+1},y^{k+1}$ 求出当前层的 $x^k,y^k$。

小提示：

上面的算法中，以辗转相除的方式向下递进的好处（目的）是缩小系数，直到出现一个解可以确定的情况。

对扩展欧几里得也可以有不同的理解方式，比如可以设 G = gcd(a,b)，然后类似地推导，每一层的等式右边都是G。