简单数论总结2——同余方程与扩展欧几里得算法

在上一次总结过后鸽了没多久其实是快要开学赶紧来肝上两篇

今日内容——同余方程和扩展欧几里得算法

同余

同余的定义：若存在两个整数a，b，使得(a - b) MOD P为0，则称作a与b在MOD P的情况下同余

换种通俗的说法，就是，a MOD P与b MOD P相等

记作 \( a\equiv b (mod P) \)

对于整数a，b，c和自然数m，n

同余具有以下性质：

自反性：\( a\equiv a (mod P) \)
对称性：若存在\( a\equiv b (mod P) \) ，则 \( b\equiv a (mod P) \)
传递性：若存在\( a\equiv b (mod P) \) ，\( b\equiv c (mod P) \)，则 \( a\equiv b (mod P) \)
同加性：若\( a\equiv b (mod P) \)，则 \( (a+c)\equiv (b+c) (mod P) \)
同乘性1：若\( a\equiv b (mod P) \)，则 \( (a*c)\equiv (b*c) (mod P) \)
同乘性2：若\( a\equiv b (mod P) \) ， \( c\equiv d (mod P) \)，则 \( (a*c)\equiv (b*d) (mod P) \)
同幂性：若\( a\equiv b (mod P) \)，则 \( (a^c)\equiv (b^c) (mod P) \)

　　由此，我们可以得到两条推论

　　\( (a*b)mod k = (a mod k)*(b mod k) mod k \)
若\( a mod p = x ,a mod q = x，p、q互质，则a mod p*q =x \)

　　但是，相信像我一样睿智的你也发现了一个问题，没错，同余不满足同除性，即不满足若\( a\equiv b (mod P) \)，则 \( (a/c)\equiv (b/c) (mod P) \)

　　那么除法取模要如何解决呢，秃顶聪明绝顶的数学家也发现了这个问题，利用逆元的知识，我们就可以解决这个问题啦！

　　但是逆元，我决定下次再讲，其实就是鸽了（咕咕咕）

扩展欧几里得算法

　　欧几里得算法相信大家都已经知道了QwQ

　　就是求gcd的辗转相除法

　　不知道的可以去看我的上一篇文章（理直气壮的骗访问量QwQ）

　　那么扩展欧几里得算法是啥？（黑人问号.jpg)

　　扩展欧几里得算法就是利用了欧几里得算法中迭代的过程，使其能够求出形如\( ax + by = gcd(a , b) \) 的方程的应用

　　我们可以简单的证明和感性理解一下扩展欧几里得算法的正确性：

　　首先，当欧几里得算法停止迭代时

　　有此情况 \( a=1，b=0,此时,gcd(a,b)=x,ax+by = gcd(a,b)显然成立 \)

　　在迭代的过程中

　　有 \( b{x}' + (a mod b) {y}' = gcd(b, a%b) \)与 \( ax + by = gcd(a, b) \)

　　则由上一层推出

　　\( x= {y}' \)，\( y={x}'-a/b*{y}' \)

　　于是可推至初始情况，得出解

　　下面给出代码的实现

int exgcd (int a, int b, int &x, int &y){
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int ans = exgcd ( b , a % b , x ,y );
    int t = x;
    x = y;
    y= t - a / b * y;
    return ans;
}

　　就是这样喵

对扩展欧几里得定理的应用

　　利用扩展欧几里得定理，我们能够求解形如\( ax+by = c \)的问题

　　当 \(c \mid gcd(a,b) \)时，有\( ax+by = c \)的不定方程有整数解

　　所以，把原式变形为 \( ax+by = d (d = gcd(a,b) ) \)的形式，利用扩展欧几里得定理可解出方程的一组解\( (x,y) \)，再将其乘以 \( \frac{c} {gcd(a,b)} \)

　　就能解出原方程的解啦！（快夸我.jpg）

对扩展欧几里得定理求出解的处理

　　由于形如 \( ax+by = c \) 的线性不定方程有无穷多解，扩展欧几里得定理进行求解的过程中，不一定保证求出的是最小正整数解，为得到最小正整数解，我们有如下的方式

　　易推出，对于线性不定方程 \( ax+by = c \)，有一组解\(x，y\) 与另一组解 \( a*(x + \frac {a*t} {gcd(a,b)}) ，b*(y- \frac {b*t} {gcd(a,b)} | (t\in \mathbb{Z})) \)都为原方程的解

　　则可得出方法：对于线性不定方程 \(ax+by = c \) ，其最小正整数解为( \( x= ( (x\%t)+t)\%t) ，(t=b/gcd(a,b))\)，\( y=(((y\%t)+t)\%t) ，(t=a/gcd(a,b)) \) )

　　至此，问题得到了解决