同余问题（一）——扩展欧几里得exgcd

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前言

扩展欧几里得算法是一个很好的解决同余问题的算法，非常实用。

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欧几里得算法

简介

欧几里得算法，又称辗转相除法。

主要用途

求最大公因数 $gcd$。

公式

$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

公式证明

$a$可以表示成 $a=kb+a\%b$（ $k$为自然数）。

假设 $g$是 $a,b$的一个公约数，则有 $g|a, g|b$。

$\because a\%b=a-kb$，

$\therefore g|(a\%b),\therefore g$是 $b,a\%b$的公约数。

综上所述， $a,b$和 $b,a\%b$的公约数是一样的，其 $gcd$也必然相等。

代码实现

inline int gcd(int x,int y) {return y?gcd(y,x%y):x;}

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扩展欧几里得算法

简介

扩展欧几里得建立于欧几里得算法的基础上。（该算法的升级版 徐xgcd有待XuRuiYang奆佬发明）

主要用途

对于已知a,b求解x,y使其满足ax+by=gcd(a,b)。

解法

我们可以对 $(a,b)$不断辗转相除。

根据欧几里得算法，最后剩下的两个数一定为 $(gcd(a,b),0)$，

显然，此时 $x=1,y=0$是原式的一组解。

现在，我们需要考虑，若已知 $(b,a\%b)$的解，如何推出 $(a,b)$的解。

设 $x_0,y_0$为 $(b,a\%b)$的一组解，则 $x_0·b+y_0(a\%b)=gcd(b,a\%b)$。

将这个式子转化一下，可以得到 $x_0·b+y_0(a-\lfloor\frac ab\rfloor*b)=gcd(a,b)$。

去括号，得 $x_0·b+y_0·a-(y_0·\lfloor\frac ab\rfloor)·b=gcd(a,b)$。

合并同类项，得 $y_0·a+(x_0-y_0·\lfloor\frac ab\rfloor)·b=gcd(a,b)$。

$\therefore x=y_0,y=x_0-y_0·\lfloor\frac ab\rfloor$是原式的一组解。

递归即可。

代码实现

inline int exgcd(int x,int y,int &s1,int &s2)
{
	if(!y) return s1=1,s2=0,x;
	register int res=exgcd(y,x%y,s2,s1);
	return s2-=x/y*s1,res; 
}

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扩欧的典型应用：求乘法逆元

$Link$

乘法逆元 详见博客 浅谈乘法逆元的三种解法