定理：对于任意整数a,b存在一堆整数x,y，满足ax+by=gcd(a,b)
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){ if(b==0){x=1,y=0;return a;} int d=exgcd(b,a%b,x,y); int z=x;x=y;x=z-y*(a/b); return d; }
当d可以整除c时，一般方程ax+by=c的一组特解求法：
1.求ax+by=d的特解x0,y0
2.ax+by=c的特解为（c/d）x0,（c/d）y0
上述方程的通解：（c/d）x0+k(b/d) ,(c/d)y0-k(a/d)
乘法逆元：b,m互质，并且b整除a，则存在x，有a/b = a*x(mod m)，即a/b模m的结果和a*x模m的结果是相同的，这个x称为b的模m的乘法逆元，记作b^(-1) (mod m)
可得b*b^(-1) = 1（mod m)
那么当m是质数时，根据费马小定理，有b^(m-1)=1(mod m),那么b的逆元就是b^(m-2)
如果只是保证b,m互质，那么解同余方程b*x=1(mod m)可以求出x
所以当遇到除法取模运算时，可以先求出逆元，转换成乘法取模运算
/* 如果单独是个A，那么就可以分解质因数后用公式求约数个数 那么B个A相乘，其约数个数就是mul{1+p^1+p^2...+p^B*ci} 结果是比数列求和后再相乘，每项等比数列的结果是 (pi^(B*ci+1)-1)/(pi-1) mod9901, 1.pi-1不是9901的倍数，（pi-1）^(9901-2)就是逆元 2.pi-1是9901的倍数，逆元不存在，但是pi mod 9901=1。。。 先把A分解质因数，再等比数列求和(快速幂+逆元)， */ #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; #define ll long long #define mod 9901 int m,p[200],c[200]; void divide(int n){ m=0; for(int i=2;i*i<=n;i++) if(n%i==0){ p[++m]=i,c[m]=0; while(n%i==0) n/=i,c[m]++; } if(n>1) p[++m]=n,c[m]=1; } ll pow(ll a,ll b){ ll res=1; while(b){ if(b&1) res=res*a%mod; a=a*a%mod; b>>=1; } return res; } int main(){ ll a,b,ans=1; scanf("%lld%lld",&a,&b); divide(a);//分解质因数 for(int i=1;i<=m;i++){ if((p[i]-1)%mod==0){ ans=ans*(b*c[i]+1)%mod; continue; } //求分子和分母逆元 ll x=pow(p[i],b*c[i]+1)%mod; x=(x-1+mod)%mod; ll y=pow(p[i]-1,mod-2)%mod; ans=ans*x%mod*y%mod; } printf("%lld\n",ans); }
求解同余方程：a*x=b(mod m)等价于a*x-b是m的倍数，等价于a*x+m*y=b，当gcd(a,m)|b时，有解
按照拓展欧几里得算法，可解得特解x=x0*b/gcd(a,m)就是原线性同余方程的一个解
通解为所有模m/gcd(a,m)与x同余的整数
求解同余方程：noip2012：a*x=1(mod b)的最小整数解
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long ll a,b,x,y; ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ if(!b){x=1;y=0;return a;} ll d=exgcd(b,a%b,x,y); ll z=x; x=y,y=z-y*(a/b); return d; } int main(){ cin >> a >> b; exgcd(a,b,x,y);//x可能是负数 cout << (x%b+b)%b<<endl; }