CHOJ 3301同余方程【扩展欧几里得】

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描述

求关于 x的同余方程  ax ≡ 1(mod b) 的最小正整数解。

输入格式

输入只有一行，包含两个正整数a,b,用一个空格隔开。

输出格式

输出只有一行,包含一个正整数，包含一个正整数 ，包含一个正整数 x0，即最小正整数解。 输入数据保证一定有解。

样例输入

3 10

样例输出

7

数据范围与约定

• 对于 40% 的数据    2 ≤b≤1,000
  对于 60% 的数据    2 ≤b≤50,000,000
  对于 100%的数据    2 ≤a, b≤2,000,000,000

题解：ax ≡ b(mod m) 等价于 ax - b 是 m 的倍数。设为 -y 倍，则方程可改写为 ax + my = b。根据扩展欧几里得定理可知方程有解当且仅当 gcd(a,m) | b。先求出一组整数满足 ax + my = gcd(a,m)，然后 x = x*b/gcd(a,m)就是原线性方程的一个解。通解是所有模 m/gcd(a,m) 与 x 同余的整数。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
    if(b == 0){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll d = exgcd(b, a%b, x, y);
    ll z = x;
    x = y, y = z - (a/b) * y;
    return d;
}
int main()
{
    ll a, b, x, y;
    cin >> a >> b;
    ll d = exgcd(a, b, x, y);
    cout << (x%b+b)%b << endl;
    return 0;
}

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