1.3 GCD、EXGCD、线性同余方程

1.3 GCD、EXGCD、线性同余方程

最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）的基本概念也是小学知识。对于任意整数 $a,b$，我们有一个很重要的公式，即 $a*b = GCD(a,b)*LCM(a,b)$。

首先我们会介绍几种基本的求GCD方式，虽然C++选手完全可以使用__gcd()函数去求，但自定义的求法往往更加灵活，方便优化以及改动实现其他功能。

辗转相除法求GCD

辗转相除法又称欧几里得算法，其原理是 $GCD(x,y)=GCD(x,y-x)$，证明如下：

①设 $z|x$， $z|y$，则 $z|(y-x)$。

②设 $z$不是 $x$因子，则 $z$不是 $x$， $y-x$的公因子。

③设 $z|x$， $z$不是 $y$的因子，则 $z$不是 $x$， $y-x$的公因子。

当然我们可以把这个转换为模运算，因为取 $y-x$的前提是 $y>x$，于是我们可以递归的用模运算去实现，保证函数的第一个参数大于第二个参数（实在理解不了可以记模板）。代码如下。

typedef long long ll;
ll GCD(ll x, ll y) {
    return y == 0 ? x : GCD(y,x % y);
}

二进制算法求GCD

这个算法比辗转相除法更快一点点，但这个优化是常数级别的。原理是通过不断去除因子2来降低常数。具体做法如下：

若 $x=y$，则 $GCD(x,y)=x$，否则：

①若 $x,y$均为偶数，则 $GCD(x,y) = 2*GCD(x/2,y/2)$;

②若 $x$为偶数， $y$为奇数，则 $GCD(x,y)=GCD(x/2,y)$;

③若 $x$为奇数， $y$为偶数，则 $GCD(x,y)=GCD(x,y/2)$;

④若 $x,y$均为奇数，则用欧几里得算法求，即 $GCD(x,y) = GCD(x-y,y)$

代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;

inline ll GCD(ll x, ll y) {
    if (x == 0) return y;
    if (y == 0) return x;
    int i, j;
    for (i = 0; (x & 1) == 0; ++i) x >>= 1;//x去2
    for (j = 0; (y & 1) == 0; ++j) y >>= 1;//y去2
    i = min(i, j);
    while (1) {
        if (x < y)
            swap(x, y);
        if ((x -= y) == 0) return y << i; // x = y时返回结果
        while ((x & 1) == 0) x >>= 1;//x去2
    }
}

这个代码还是非常值得细看的​，对于理解这个方法有好处，至于为什么不用简单好写的递归，显然递归会爆栈，MLE警告。

最小公倍数LCM

除了最前面介绍的 $a*b = GCD(a,b)*LCM(a,b)$去求LCM以外，还以可以考虑逐步倍增法，比如求3和8的LCM，可以从1开始递增，每次检查 $8*n$是不是3的倍数，当 $n=3$时成立，所以 $LCM = 3 * 8 = 24$

扩展欧几里得算法（EXGCD）

用途：已经一组 $a,b$，求解一组 $p,q$，使得 $p*a+q*b=GCD(a,b)$。这个解是一定存在的。

该算法能返回 $p,q,GCD(a,b)$。

因为 $GCD(a,b) = GCD(b,a\ \%\ b)$，所以
$p*q+q*b=GCD(a,b)=GCD(b,a\ \%\ b)=p*b+q*a\ \%\ b=p*b+q*(a-a/b*b)=q*a+(p-a/b*q)*b$

那么由此我们可以得出EXGCD算法的实质：通过欧几里得算法辗转求出GCD的同时，利用上面公式得出的性质。递归回溯地求出最初的 $p,q$的值，而递归出口为当b减小至0时，一定满足 $p=1,q=0$。而每一层p等于下一层的q，每一层的q等于下一层的 $p-a/b*q$。

那么我们来看看EXGCD的代码

#include <iostream>

using namespace std;
typedef long long ll;

//代码中用x,y代替原题目中的p,q
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    ll ret, tmp;
    if (!b) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ret = exgcd(b, a % b, x, y);
    tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - a / b * y;
    return ret;
}

int main() {
    ll a, b, x, y, z;
    cin >> a >> b;
    z = exgcd(a, b, x, y);
    cout << z << ' ' << x << ' ' << y;
    return 0;
}

线性同余方程

首先给出两个定理：

①对于方程 $a*x+b*y=c$，该方程等价于 $a*x\equiv c(mod\ b)$，有整数解的充要条件是： $c\ \%\ GCD(a,b)=0$。

根据这条定理①，对于方程 $a*x+b*y=c$，我们可以用EXGCD算法求出一组 $x_0,y_0$，然后两边同时除以 $GCD(a,b)$后再乘以c，即可得出原方程的解。

②若 $GCD(a,b)=1$，且 $x_0,y_0$为方程 $a*x+b*y=c$的一组解,则该方程的任意解可表示为： $x=x_0+b*t,y=y_0-a*t$，对于任何整数t皆成立。

根据定理2可以求出方程所有的解，但实际问题中我们一般会去求一个最小整数解，即一个特解x，此时 $t=b/GCD(a,b)$， $x=(x\ \%\ t+t)\%t$。

实现代码如下：

#include <iostream>

using namespace std;
typedef long long ll;

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    ll ret, tmp;
    if (!b) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ret = exgcd(b, a % b, x, y);
    tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - a / b * y;
    return ret;
}

int main() {
    ll a, b, x, y, z;
    cin >> a >> b;
    z = exgcd(a, b, x, y);
    ll t = b / z;
    x = (x % t + t) % t;
    cout << x;
    return 0;
}

对应例题：luogu-1082同余方程

推荐题目：POJ-1061青蛙的约会