扩展欧几里德算法--exgcd(P1082 同余方程)

exgcd就是用来求$a\ast x+b\ast y=gcd(a,b)$的一组解 { x , y } \{x, y\} { x,y}的方法。$$a\ast x+b\ast y=gcd(a,b)---1$$$$b\ast x+(a\%b)\ast y=gcd(b,a\%b)---2$$$$a\%b=a-[a/b]\ast b---3$$$$将3带入2=>$$$$b\ast x+(a-[a/b]\ast b)\ast y=gcd(b,a\%b)---4$$$$将4变形=>$$$$a\ast y+b\ast (x-[a/b]\ast y)=gcd(b,a\%b)---5$$$$可以看出又成了1的形式，就可以递归求解了。$$$$直到b=0时，a=gcd，a\ast x+b\ast y=gcd=>$$$$特解x=1，y=0，然后再反推最开始a，b的解;$$

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    
    
	if(!b) {
    
    
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	int gcd = exgcd(b, a%b, x, y);
	//上面部分和求最大公因子一样。
	//下面部分就是证明中式子5的x, y变换。
	//
	int temp = x; 
	x = y;
	y = temp - a/b * y;
	return gcd;
}

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P1082 同余方程

问：给出$a,p$，求满足$a\ast x=1(modp)$的x；
要利用上面的exgcd，我们先将$a\ast x=1(modp)$变个形式。
$a\ast x=1(modp)=a\ast x+p\ast y=1$。这样我们就转换成求x，y。但在exgcd中$a\ast x+p\ast y$是等于$gcd(a,b)$，所以1必须整除$gcd(a,b)$。这样就等价于$gcd(a,b)=1$，a, b互质。题目说一定有解，就不考虑不存在的情况。
因为x可能小于0所以得(x+m)%m使得x大与0。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    
    
	if(!b) {
    
    
		x = 1, y = 0;
		return ;
	}
	exgcd(b, a%b, x, y);
	ll temp = x;
	x = y;
	y = temp - a/b*y;
}
int main() {
    
     
	ll n, m, x, y;
	scanf("%lld%lld", &n, &m);
	exgcd(n, m, x, y);
	printf("%lld", (x+m)%m);
	return -0;
}