扩展欧几里得定理（线性同余&&同余方程求解&&逆元）

线性同余

线性同余方程（也可以叫模线性方程）是最基本的同余方程，即ax≡b (mod n)（ a≡b (mod n) 表示a和b模n同余，即a和b除以n的余数相等。即a%n = b%n），其中a、b、n都为常量，x是未知数，这个方程可以进行一定的转化，得到：ax = kn + b,这里的k为任意整数，于是我们可以得到更加一般的形式即：ax + by + c = 0，这个方程就是二维空间中的直线方程，但是x和y的取值为整数，所以这个方程的解是一些排列成直线的点集。
同余方程求解

求解同余方程第一步是转化成一般式：ax + by = c，这个方程的求解步骤如下：

i) 首先求出a和b的最大公约数d = gcd(a, b)，那么原方程可以转化成d(ax/d + by/d) = c，容易知道(ax/d + by/d)为整数，如若d不能整除b，方程必然无解，算法结束；否则进入ii)。

ii) 由i)可以得知，方程有解则一定可以表示成 ax + by = c = gcd(a, b)*c'，那么我们先来看如何求解d = gcd(a, b) = ax + by，根据欧几里德定理，有：

d = gcd(a, b) = gcd(b, a%b) = bx' + (a%b)y' = bx' + [a-b*(a/b)]y' = ay' + b[x' - (a/b)y']

于是有x = y', y = x' - (a/b)y'。

由于gcd(a, b)是一个递归的计算，所以在求解(x, y)时，(x', y')其实已经利用递归计算出来了，递归出口为b == 0的时候（对比辗转相除，也是b == 0的时候递归结束），那么这时方程的解x0 = 1, y0 = 0。
```
ll extend_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    else
    {
        ll r = extend_gcd(b, a % b, y, x);
        y -= x * (a / b);
        return r;
    }
}
```
扩展欧几里德算法和欧几里德算法的返回值一致，都是gcd(a, b)，传参多了两个未知数X, Y，采用引用的形式进行传递，对应上文提到的x, y，递归出口为b == 0，这时返回值为当前的a，因为gcd(a, 0) = a，(X, Y)初值为(1, 0)，然后经过回溯不断计算新的(X, Y)，这个计算是利用了之前的(X, Y)进行迭代计算的，直到回溯到最上层算法终止。最后得到的(X, Y)就是方程gcd(a, b) = ax + by的解。

通过扩展欧几里德求的是ax + by = gcd(a, b)的解，令解为(x0, y0)，代入原方程，得：ax0 + by0 = gcd(a, b)，如果要求ax + by = c = gcd(a, b)*c'，可以将上式代入，得：ax + by = c = (ax0 + by0)c'，则x = x0c', y = y0c'，这里的(x, y)只是这个方程的其中一组解，x的通解为 { x0c' + kb/gcd(a, b) | k为任意整数 }，y的通解可以通过x通解的代入得出。
、逆元

模逆元的最通俗含义可以效仿乘法，a*x = 1，则称x为a在乘法域上的逆（倒数）；同样，如果ax≡1 (mod n)，则称b为a模n的逆，简称逆元。求a模n的逆元，就是模线性方程ax≡b (mod n)中b等于1的特殊形式，可以用扩展欧几里德求解。并且在gcd(a, n) > 1时逆不存在。扩展欧几里得定理求逆元 a*x≡1(mod m) 等价于a*x+m*y=1 可以用扩展欧几里得求得一组解（x+m)mod m即为a的逆元。
```
ll extend_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    else
    {
        ll r = extend_gcd(b, a % b, y, x);
        y -= x * (a / b);
        return r;
    }
}
ll inv(ll a, ll n)
{
    ll x, y;
    extend_gcd(a, n, x, y);
    x = (x % n + n) % n;
    return x;
}
```

扩展欧几里得定理（线性同余&&同余方程求解&&逆元）

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