裴蜀定理、扩展欧几里得算法与线性同余方程

裴蜀定理：

对于任意正整数$a,b,$一定存在非零整数$x,y$使得
$$ax+by=\gcd (a,b)$$
$x,y$可用扩展欧几里得算法求出。

扩展欧几里得：

由欧几里得算法得
$$\gcd (a,b)=\gcd (b,a\%b)$$
由裴蜀定理
$$ax+by=\gcd (a,b)$$
当$b=0$时，$\gcd (a,0)=a$，$x=1,y=0$
右边
$$b{x}^{\prime }+(a\%b)y^{\prime }=d$$
因为
$$a\%b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b$$
所以右边为
$$b{x}^{\prime }+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor b)y^{\prime }=d$$
整理得
$$a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y^{\prime })=d$$
就递归为了求$exgcd(b,a\%b),b=0$时可得出结果

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,a,b,x,y;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    
    
    if(!b){
    
    
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
int main(){
    
    
    cin>>t;
    while(t--){
    
    
        cin>>a>>b;
        exgcd(a,b,x,y);
        cout<<x<<" "<<y<<endl;
    }
}

对于一般方程$$ax+by=c$$设$d=\gcd (a,b)$，当且仅当$d\mid c$时方程有解。

先用扩展欧几里得求出$$a{x}_0+b{y}_0=\gcd (a,b)$$的一组特解$x_0,y_0$

于是再求齐次解

$$ax+by=0$$

齐次解为
$$x=k\ast \frac{b}{\gcd (a,b)},y=-k\ast \frac{a}{\gcd (a,b)},(k\in Z)$$
带入验证
$$a\ast k\ast \frac{b}{\gcd (a,b)}+b\ast (-k\ast \frac{a}{\gcd (a,b)})=0成立,(k\in Z)$$
所以通解$=$齐次解$+$特解
$$x=x_0+k\ast \frac{b}{\gcd (a,b)},y=y_0-k\ast \frac{a}{\gcd (a,b)},(k\in Z)$$

线性同余方程：

给定$a,b,m,$求出$x$使其满足
$$ax\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$
等价于：
$$\exists y\in Z,使得ax=my+b$$
移项:
$$ax-my=b$$
有解的条件为$$\gcd (a,m)\mid b$$
特殊情况：$b=1,a,m$互质时就是求$a$的逆元

令$$y^{\prime }=-y$$
我们可以求出$$ax+m{y}^{\prime }=\gcd (a,m)$$
所以等式两边只需同乘$$\frac{b}{\gcd (a,m)}$$
等式右边就是$b$了，就可以求得原式了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int t,a,b,m,x,y;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    
    
    if(!b){
    
    
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
int main(){
    
    
    cin>>t;
    while(t--){
    
    
        cin>>a>>b>>m;
        int d=exgcd(a,m,x,y);
        if(b%d!=0) puts("impossible");
        else cout<<(LL)b/d*x%m<<endl;
    }
}