Luogu P2622 关灯问题II【题解】

题目描述

现有 $n$盏灯，以及 $m$个按钮。每个按钮可以同时控制这 $n$盏灯——按下了第 $i$个按钮，对于所有的灯都有一个效果。按下i按钮对于第 $j$盏灯，是下面 $3$中效果之一：如果 $a[i][j]$为 $1$，那么当这盏灯开了的时候，把它关上，否则不管；如果为-1的话，如果这盏灯是关的，那么把它打开，否则也不管；如果是 $0$，无论这灯是否开，都不管。

现在这些灯都是开的，给出所有开关对所有灯的控制效果，求问最少要按几下按钮才能全部关掉。

输入输出格式

输入格式：

前两行两个数， $n$ $m$

接下来 $m$行，每行 $n$个数, $a[i][j]$表示第i个开关对第j个灯的效果。

输出格式：

一个整数，表示最少按按钮次数。如果没有任何办法使其全部关闭，输出-1

输入输出样例

输入样例#1：

3
2
1 0 1
-1 1 0

输出样例#1：

2

说明

对于 $20$%数据，输出无解可以得分。

对于 $20$%数据， $n<=5$

对于 $20$%数据， $m<=20$

上面的数据点可能会重叠。

对于 $100$%数据 $n<=10,m<=100$

---

讲解时间！

先看数据范围

$n<=10$

最多只有 $2^{10}-1=1023$种状态

既然这么少，那我们完全可以用数组来存储.

用 $01$表示灯的开关， $1$是开， $0$是关。

假如有五盏灯，31 就是 $1$ $1$ $1$ $1$ $1$，表示五盏灯全都开着

21就是 $1$ $0$ $1$ $0$ $1$，表示第 $1$， $3$， $5$盏灯开， $2$， $4$盏灯灭

想一下如何对灯进行操作？

关掉第 $i$盏灯： $f[i]$^ $=(1<<(i-1))$;

打开第 $i$盏灯： $f[i]$| $=(1<<(i-1))$;

既然知道操作，接下来就非常简单了

因为 $n$和 $m$都非常小，完全可以循环枚举， $f[i]$由最小的 $f[j]$转移而来；

int N=(1<<n)-1；
for(int i=N;i>=0;--i){
    for(int j=1;j<=m;++j){
        int x=i;
        for(int l=1;l<=n;++l){
            int o=1<<l-1;
            if(a[j][l]==1 && i&o)x^=o;
            if(a[j][l]==-1 && !(i&o))x|=o;
        }
        f[x]=min(f[x],f[i]+1);
    }
}

核心代码就这么多

【完整代码实现】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<ctype.h>
#include<cstring>
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))f|=ch=='-',ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=x*10+(ch^48),ch=getchar();
    return f?-x:x;
}
int a[107][17],f[1027];
int main(){
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    int n=read(),m=read(),N=(1<<n)-1;f[N]=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=1;j<=n;j++)a[i][j]=read();
    for(int i=N;i>=0;--i){
        for(int j=1;j<=m;++j){
            int x=i;
            for(int l=1;l<=n;++l){
                int o=1<<l-1;
                if(a[j][l]==1 && i&o)x^=o;
                if(a[j][l]==-1 && !(i&o))x|=o;
            }
            f[x]=min(f[x],f[i]+1);
        }
    }
    printf("%d",f[0]>1e9?-1:f[0]);
    return 0;
}