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https://www.youtube.com/watch?v=TWpyhsPAK14
几个基本假设
粒子的运动轨迹由波动函数\(\psi(x,t)\)完全描述，其中\(|\psi(x,t)|^2\)表示\(t\)时刻，粒子出现在\(x\)的概率
任意一种测量都对应一个operator \(\hat{A}\)，其输入是波动函数，输出也是波动函数，测量的值\(a\)为该operator的某一个特征值\(\hat{A} \phi_a(x) = a\phi_a(x)\)，\(\phi_a\)为对应的特征函数 (Eigen Function)
任一叠加态可以表述成特征函数的线性组合：\(\psi(x) = \sum_a C_a\phi_a(x)\)
测量值为\(a\)的概率是\(P(a) = |C_a|^2\)，\(C_a = \int \phi^*_a(x)\psi(x) dx\)
坍塌：测量导致叠加态坍塌到某一个特征函数: \(A=a \Rightarrow \psi(x) = \phi_a(x)\)
薛定谔方程描述了波动函数随时间的变化: \(i\hbar \frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t} = \hat{E} \psi(x,t)\)
薛定谔方程3性质
线性性: 如果\(\psi_1(x,t), \psi_2(x,t)\)满足薛定谔方程，则\(\alpha\psi_1(x,t) + \beta\psi_2(x,t)\)也满足
幺正变换(Unitary): 任意时刻，\(\int |\psi(x,t)|^2 dx =1\)， 根据前面一集视频，特征函数可以正交化。即\(\int \phi_a^*(x) \phi_b(x) dx = \delta(a-b)\)，而波动函数可以表示成特征函数的线性组合，因此在同一组特征函数的基下，两个波动函数之间的变换只能是幺正变换（正交变换）才能保证变换前后模长不变，从而保证概率和为1
Deterministic: 如果知道了某一时刻的波动函数，则可以用薛定谔方程推出任意时刻的波动函数。
用薛定谔方程解波动函数
给定energy operator \(\hat{E}\)以及\(t=0\)时刻的波动函数\(\psi (x,0)\)，求解整个波动函数\(\psi(x,t)\)分为三步：
求出\(\hat{E}\)的一组特征函数 \(\{\phi_n(x)\}\)
将\(\psi (x,0)\)用特征函数展开：\(\psi (x,0) = \sum_n c_n \phi_n (x)\)
运用薛定谔方程 \(i\hbar \frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t} = \hat{E} \psi(x,t)\)解出\(\psi(x,t)\)
例1 已知\(\psi (x,0) = \phi_E (x), \hat{E} \phi_E(x) = E\phi_E(x)\) ，求\(\psi(x,t)\)
解：这里特征函数，系数c_n=1已知，直接代入薛定谔方程
\begin{eqnarray}&& i\hbar \frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}\vert_{t=0} = \hat{E} \psi(x,0) \nonumber\\ &\Rightarrow& i\hbar \frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}\vert_{t=0} = \hat{E} \phi_E(x)\nonumber\\ &\Rightarrow &\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}\vert_{t=0} = \frac{-iE}{\hbar}\phi_E(x)\nonumber\\ &\Rightarrow& \psi(x,t) = e^{-i\frac{Et}{\hbar}}\phi_E(x)\nonumber\end{eqnarray}
例2 假设特征函数是\(\psi_n(x,t) = e^{-i \omega_n t} \phi_n(x)\)，且\(\psi(x, 0) = \sum_n c_n \phi_n (x)\)，求\(\psi(x,t)\)
解: 特征函数已知，且\(\psi(x, 0)\) 已经展开成特征函数的线性组合，因此
\(\psi(x,t) = \sum_n c_n e^{-i \omega_n t} \phi_n(x)\)
例3 已知free particle的energy operator是\(\hat{E} = \frac{\hat{p}^2}{m}\)，且该free particle被放置在0到L的区间内，即该free particle活动范围为 \(0\le x \le L\)， 求解\(\hat{E}\)的特征函数
解: 由于\(\hat{p} = i\hbar\frac{\partial\psi (x,t)}{\partial x}\)
\(\hat{E} =- \frac{\hat{p}^2}{2m} = \frac{\hbar^2}{2m}\partial^2 x\)
假设特征函数是\(\phi_E\)，对应的特征值是\(E\)：\(\hat{E} \phi_E = E\phi_E\)，则
\begin{eqnarray} && \hat{E} \phi_E = E\phi_E \nonumber\\ & \Rightarrow &-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\phi_E=E\phi_E \nonumber \\ & \Rightarrow & \frac{2mE}{\hbar^2} \phi_E+\nabla^2 \phi_E = 0 \nonumber \\ & \Rightarrow & \phi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} \nonumber \\ & \Rightarrow & \phi(x) = \alpha \cos(kx) +\beta \sin(kx)\end{eqnarray}
其中\(\frac{2mE}{\hbar^2} = k^2\), \(k\)为任意实数，给定一个\(k\)，就有一个特征值E对应。\(\alpha, \beta\) 为复数
然后求解边界条件：当\(x\le 0\) 或者 \(x \ge L\)时, 其出现的概率为\(0\)。注意\(|\psi(x,t)|^2\)代表了粒子在位置\(x\)时刻\(t\)出现的概率，对\(x=0\) 或者 \(x=L\)来说，概率为\(0\)，因此有
当\(x=0\)时，\(\phi_E(0) = 0 \Rightarrow \alpha = 0\)
当\(x=L时\)，
\begin{eqnarray}&&\phi_E(L) = 0 \nonumber\\&\Rightarrow&\beta\sin(kL) =0 \nonumber\\ & \Rightarrow & kL = (1+n)\pi, \quad n=0,1,2, \dots\nonumber \\ & \Rightarrow & k_n=\frac{(1+n)\pi}{ L}\nonumber \end{eqnarray}
综上，特征函数是\(\phi_{E_n}(x) = \beta_n\sin (k_nx)\)，其中\(k_n=\frac{(1+n)\pi}{ L}, \quad n=0,1,2,\dots\)
注意此时由于k的取值是离散的，导致了E取值也是离散的。根据前面所述，每一次测量只能取某一个特征值，所以我们观测到的粒子能量为离散的。
