MIT算法导论公开课之第7课 哈希表

符号表问题

表S中有n条记录，每条记录都有一个键值，并且有其他的一些数据（卫星数据）。
允许的操作：
    1.插入数据(S,x)：S ← S∪{x}
    2.删除数据(S,x)：S ← S - {x}
    3.查询数据(S,k)：存在键值k对应的数据x，则返回x，否则返回nil（空值）。
插入删除操作将S变为一个动态集合。

直接映射表

假设键值来自一个有m个元素的集合U{0,1,…,m-1}，键值相互独立。
建立数组T[0,…,m-1]来表示动态集合S，当x∈S且x的键值为k时，T[k]=x，否则，当集合S中无此值
时，T[k]=nil（空值）。
在最坏情况下，其时间复杂度为Θ(1)。
算法的局限性主要体现在空间上，当S中的值是一个较大范围内数的集合的子集时，需要的空间很大，
并且空间的利用率低。

哈希法（Hashing）

用哈希函数H来“随机“将键值映射到表T中的槽（slot）中。

当一条记录需要向一个已经插入记录的槽中插入内容时，即发生了碰撞（collision）。

链表法解决碰撞

把相同哈希值的记录放到一个链表里存储。

• 运行时间分析：
  
  • 最坏情况：
    所有的键值都被映射到同一个槽中，哈希表退化为一个链表，操作的时间复杂度为Θ(n)。
  • 平均情况：
    
    • 简单均匀哈希，每个属于集合S的键值k都有相同的几率被哈希映射到表T的任意一个槽中，每个键与其他被哈希的记录或键之间相互独立。
    • 对于一个拥有m个槽的哈希表T来说，两个键值被哈希映射到同一个槽的概率为1/m，一个键值被哈希映射到特定某个槽的概率为1/m。
    • 定义一个存放n个键、有m个槽的哈希表，它的装载因子α=n/m，也就是每个槽中的平均数量。
    • 失败搜索的预计用时为Θ(1+α)，“1“表示把键值哈希映射到槽的用时，”α“表示搜索槽对应的链表所花费的时间。当α=O(1)，即n=O(m)（哈希表里键的数量不会超过槽的数量m的常数倍）时，搜索时间为Θ(1)。
    • 成功搜索的预计用时也是Θ(1+α)。

关于选择哈希函数

1.将键值均匀的分布到槽里。
2.键值本身的分布特性不应影响它在哈希表中分布的均匀性。

• 除法哈希法

  h(k)=k mod m
  注：不要选择过小的m作为除数。
  

  • Ex：

    • m=2且所有的键值为偶数，则所有奇数槽都无法被用到，空间会被浪费一半。
    • m=2^r，则所有的键值哈希结果都只是取了键值二进制表示的低r位，又因为二进制数据通常具有一个常见的规则性，即数字的低位相同、高位不同或是相反，所以这种选取m的方法就存在问题。

  • 比较好的方法是选取不是很接近2的幂或10的幂的质数来作为m的值。

  • 缺点
    使用除法效率不高，因为相对于乘法和加法而言，在很多计算机上运算时，除法往往有更多的循环运算。

• 乘法哈希法：

  假设m=2^r，计算机一个字的长度是w位。
  h(k)=(A·k mod 2^w) rsh (w-r)（2^(w-r)<A<2^w且A为奇数，rsh表示右移）。
  A的取值不要太接近以2为底的数。
  

  • 此算法的优点在于函数中的取余运算会比一般的除法快。

  • Ex：
    

开放寻址法解决碰撞

主要思想是，插入元素时，系统地探查哈希表，直到找到一个空的槽为止。
哈希函数有两个参数，键值和探查号。
要求元素数量不超过槽的数量（n<=m）。
删除操作要特别处理，否则会影响探查过程。

• Ex：
  插入k=496。
  
  如果是插入操作，则在槽中放入一条记录，如果是查询操作，则返回nil（空值）。
  
  • 探查策略：
    
    • 线性探查：
      h(k,i)=(h(k,0)+i) mod m
      缺点在于如果记录在槽中的存储存在集群现象，这种探查方法效率就会降低。
    • 二次哈希：
      h(k,i)=(h_1(k)+i*h_2(k)) mod m
      通常把m=2^r（取为以2为底的幂值），h_2(k)选择奇数的值。
      
      • 平均运行时间：
        假设所有的键值都均等的有m！种探查序列，每个键值的探查序列都相互独立。
        证明预期的探查次数最多不超过1/(1-α)（α<1）。
        
        如果α是一个常数量，则只需O(1)步的探查。当哈希表T有50%有记录时，平均探查次数为2，当哈希表T有90%有记录时，平均探查次数为10。随着哈希表密度增大，探查的时间花费会急剧的增加。