二十一、特征值和特征向量
1、特征值和特征向量的定义、求解
给出\(n\)阶方阵\(A\)，若存在\(n\)维列向量\(x\)和标量\(\lambda\)，有\(Ax=\lambda x\)，则\(x\)是\(A\)的一个特征向量，\(\lambda\)是\(A\)对应于特征向量\(x\)的特征值。
需要注意的是，特征向量一定是非零向量，但特征值可以为0(可以为实数，也可以为虚数、复数)
国内线代教材都有特征值和特征向量的求解方法，这里不再赘述
2、特征值和特征向量的几何意义
对于\(Ax=\lambda x\)，\(Ax\)可以视为对向量\(x\)的一个线性变换，则该式表明\(x\)经线性变换\(A\)后得到的\(Ax\)仍与\(x\)共线，且\(Ax\)是\(x\)数乘标量\(\lambda\)后得到的向量
对于某矩阵\(A\)而言，设\(C(A)\)空间对应的投影矩阵为\(P\)，则:
(1)\(\forall x\in C(A)\)，因为\(x\)在该空间内，所以\(Px=x\)，\(x\)是一个特征向量，对应于其的特征值为1
(2)\(\forall x\perp C(A)\)，因为\(x\)垂直于该空间，所以\(Px=0\)，则\(x\)是一个特征向量，其特征值为0