※什么是波函数
波函数是描述微观粒子的行为的单值、有限、连续的概率幅函数。
(一)波函数的归一化
1.可积情况
波函数在全空间内模方可积：
\[\int_{\infty} |\Phi|^2 d\tau=A \]
那么：其归一化波函数为
\[\Psi(\vec{r},t)=\frac{1}{\sqrt{A}}\Phi(\vec{r},t) \]
2.积分不存在情况
（1）归一化为δ函数
\[\int_\infty \Phi_{\vec{r'}}^* \Phi_{\vec{r}}d\vec{r}=A'\delta(\vec{r}-\vec{r'})\\ \implies \Psi(\vec{r},t)=\frac{1}{\sqrt{A'}}\Phi(\vec{r},t) \]
（2）箱归一化
只需要把积分限从无穷换到有限区间(-L，L)即可，以自由粒子波函数为例：
\[\Phi_{\vec{p}}(\vec{r})=Ce^{\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot\vec{r}} \implies \int_{-\infty}^{+\infty}|\Phi_{\vec{p}}(\vec{r})|^2d\vec{r}\space\space不存在 \\ \space \\ \implies令I=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} |\Phi_{\vec{p}}(\vec{r})|^2dxdydz=C^2L^3=1 \\ \space \\ \implies \Psi_{\vec{p}}({\vec{r}})=\frac{1}{L^{\frac{3}{2}}}e^{\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot\vec{r}} \]
(二）波函数统计诠释 与 态叠加原理
1.波函数统计诠释
波恩（Born）提出了波函数的统计诠释：
在空间中某点找到粒子的概率正比于其波函数在该处的模方。
对于可归一化的波函数，粒子在空间某点中出现的概率P为：
\[P(\vec{r}_0)= \frac{{|\Psi(\vec{r}_0,t)|^2}} {\int_\infty |\Psi|^2 d\tau} \]对于不可归一化的波函数，波函数在某点的模方称为粒子在该处出现的相对概率密度。
由以上公式易知粒子在全空间中出现的概率之和为1（归一化），且波函数是单值（概率不能有两个）、有限（可积）的。
2.态叠加原理
一个任意态ψ，可以写为体系可能状态ψn的线性组合：
\[\Psi=\begin{cases} \sum_{n} c_n \Psi_n &\text{有限个状态}\\ \int_n c_n \Psi_n d\tau &\text{无限个状态} \end{cases} \space\space\space\space c_n\in C\space or \space f(C) \]
其中|cn|2是处于态ψ的粒子被观测到处于态ψn的概率，这些概率和为1，即：
\[\sum_n |c_n|^2=1 \\ \space \\ \int|c_n|^2d\tau=1 \]
（三）薛定谔方程
1.建立条件
（1）方程是线性的，解满足态叠加原理；
（2）系数不含状态参量，否则无法满足粒子所有状态；
（3）对时间的偏导最多一阶（？）。
2.形式
哈密顿量 H 可以写为动能项与势能项之和，而薛定谔方程可以写为：
\[i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\hat{H}\Psi=E\Psi \]
则有：
（1）非定态单体问题
\[i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=[-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2+U(\vec{r},t)]\Psi \]
（2）非定态多体问题
\[i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=[-{\hbar^2}\sum_i {\frac{\nabla_i^2}{2m_i}}+{U(\vec{r_1},\vec{r_2},...,\vec{r_n},t)}]\Psi \]
（2）定态单体问题
定态问题相比非定态问题，有两个特点：
· 能量具有确定值
· 势能不含时
其波函数形式为：
\[\Psi(\vec{r},t)=\psi(\vec{r})e^{-\frac{i}{\hbar}Et} \]
其中ψ(r)满足定态薛定谔方程：
\[[-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2+U(\vec{r})]\psi=E\psi \]
（四）概率连续性方程、概率流密度及守恒率
1.概率连续性方程
\[设\space\space\omega=|\Psi|^2=\Psi^*\Psi \\ \space \\ \space\space\vec{J}=\frac{i\hbar}{2m}(\Psi\nabla\Psi^*-\Psi^*\nabla\Psi) \\ \space \\ \implies \frac{\partial \omega}{\partial t}\overset{i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=[-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2+U(\vec{r},t)]\Psi}{===========}-\vec{\nabla}\cdot\vec{J} \\ \space \\ \implies \int_V \frac{\partial \omega}{\partial t}d\vec{\tau}=-\int_V\vec{\nabla}\cdot\vec{J}d\vec{\tau}\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \\ \space \\ \overset{高斯定理}{\implies}=-\oint_S\vec{J}\cdot d\vec{S}=-\oint_S J_n dS\space\space\space\space\space\space\space\space\space \]
可以认为Jn是经过S进入V的概率ωn，即为概率流密度。
2.守恒律
将上式的V拓展到全空间，有：
\[\int_{\infty} \frac{\partial \omega}{\partial t}d\vec{\tau}=\frac{d}{dt}\int|\Psi|^2d\vec{\tau}=0=-\oint_S J_ndS（概率守恒） \]
将ω乘以m或q，表示质量密度或电荷密度，同样可以得出质量守恒律和电荷守恒律。
对于定态，概率流密度与时间无关：
\[\vec{J}=\frac{i\hbar}{2m}(\psi e^{-\frac{i}{\hbar}Et}\nabla\psi^*e^{\frac{i}{\hbar}Et}-\psi^*e^{\frac{i}{\hbar}Et}\nabla\psi e^{-\frac{i}{\hbar}Et}) \\ \space \\ =\frac{i\hbar}{2m}(\psi\nabla\psi^*-\psi^*\nabla\psi)\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \]
（五）一维定态问题
1.一维无限方势阱
\[U(x)=\begin{cases}0 &|x|\leq a\\ \infty &|x|>a\end{cases} \\ \space \\ \implies \psi(x)=\begin{cases} \phi(x) &|x|\leq0\\ 0 &|x|>a \end{cases} \\ \space \\ s.t. -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_x^2\phi=E\phi\implies\nabla_x^2\phi+\frac{2mE}{\hbar^2}\phi=0 \\ \space \\ \implies \phi(x)=A\sin\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x+B\cos\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x \\ \space \\ \space\space\space\space\space\space\overset{\psi(\pm a)=0 且 \psi连续}{\implies}\space\space\space\space\space\space \begin{cases}Asin\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a&=0 \\ B&=0\end{cases}\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \\ \space \\ or \begin{cases}Bcos\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a&=0\\ A&=0\end{cases}\space\space\space\space\space\space \\\space \\ \space\space\implies \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}=\frac{n}{2}\pi\implies E=\frac{n^2\hbar^2\pi^2}{8ma^2}\space n\in Z^+ \\ \space \\ \phi(x)=\begin{cases}A\sin\frac{n\pi}{2a}x & n=2,4,6... \\B\cos\frac{n\pi}{2a}x &n=1,3,5...\end{cases} =C\sin\frac{n\pi}{2a}(x+a) \space \space n\in Z^+ \\ \space \\ \overset{归一化}{\implies}C=\frac{1}{\sqrt{a}} \\ \space \\ \implies \psi(x)=\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{a}}\sin\frac{n\pi}{2a}(\pi+a) &|x|\leq a\\ 0 &|x|<a \end{cases} \]
2.线性谐振子
\[U(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2 \\ \space \\ \implies \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2}+(E-\frac{m\omega^2x^2}{2})\psi=0 \]
其解为（过程略）：
\[E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar\omega \space\space n\in Z^+ \\ \space \\ \psi_n(x)=N_n e^{-\frac{1}{2}\frac{m\omega}{\hbar}x^2}H_n(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x) \]
其中：
\[N_n=\sqrt{\sqrt{\frac{m\omega}{\pi\hbar}}\frac{1}{2^n n!}}(归一化系数)\\ H_n(\xi)=(-1)^ne^{\xi^2}\frac{d^n}{d\xi^n}e^{-\xi^2} (厄米多项式) \]
厄米多项式递推公式：
\[(1)2nH_{n-1}(\xi)=\frac{dH_n}{d\xi}\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space \\ \space \\ (2)H_{n+1}(\xi)-2\xi H_n(\xi)+2nH_{n-1}=0 \]
ψ(ξ)递推关系式：
\[(1)\space\xi \space\psi_n(x)\space=\sqrt{\frac{n}{2}}\psi_{n-1}(\xi)+\sqrt{\frac{n+1}{2}}\psi_{n+1}(\xi) \\ \space \\ (2)\frac{d}{d\xi}\psi_n(x)=\sqrt{\frac{n}{2}}\psi_{n-1}(\xi)-\sqrt{\frac{n+1}{2}}\psi_{n+1}(\xi) \]
（六）散射问题
势垒贯穿问题：
\[U(x)=\begin{cases} U_0 &0\leq x\leq a\\ 0 &\text{其他} \end{cases} \\ \space \\ \implies \psi(x)=\begin{cases} Ae^{ik_1x}+A'e^{-ik_1x} &x<0\\ Be^{ik_2x}+B'e^{-ik_2x} &0\leq x \leq a\\ Ce^{ik_1x} &x>a \end{cases} \]
其中：
\[k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\space\space k_2=\sqrt{\frac{2m(E-U_0)}{\hbar^2}} \]
由函数连续性可以解得个系数的关系（略去），当U0>E时仍然有C不为0，即粒子穿过势垒的概率不为0（势垒贯穿，或称量子隧穿效应）。又知：
\[Ae^{ik_1x} \space\space\space\space\space入射波部分 \\ A'e^{-ik_1x} \space\space\space反射波部分\\ Ce^{ik_1x} \space\space\space\space\space\space透射波部分 \\ \space \\ \implies \begin{cases} \vec{J}&=\frac{\hbar k_1}{m}|A|^2 \\ \vec{J}_R&=\frac{\hbar k_1}{m}|A'|^2\\ \vec{J}_D&=\frac{\hbar k_1}{m}|C|^2 \end{cases} \\\space \\ \implies \begin{cases} D=\frac{\vec{J}_D}{\vec{J}}=\frac{|C|^2}{|A|^2}=\frac{4k_1^2 k_3^2}{(k_1-k_3)^2 \sin^2(k_3a)+4k_1^2k_3^2} &透射系数\\ \\ R=\frac{\vec{J}_R}{\vec{J}}=\frac{|A'|^2}{|A|^2}=\frac{(k_1-k_3)^2 \sin^2(k_3a)}{(k_1-k_3)^2 \sin^2(k_3a)+4k_1^2k_3^2} &反射系数 \end{cases} \\ \space \\ \]
其中，k3 = k2*。
在一定条件下，透射系数可以近似：
\[D=D_0e^{-\frac{2}{\hbar}\sqrt{2m(U_0-E}a} \space\space 当\space\space E<U_0且ik_3a\gg 1 \]