剑指offer——孩子们的游戏（圆圈中最后剩下的数）

剑指offer——孩子们的游戏（圆圈中最后剩下的数）

问题描述

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0…m-1报数…这样下去…直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)

思路分析

定义一个关于n和m的方程 f(n,m) 表示每次在n个数字中，删除第m个数字最后剩下的数字。

如 0，1，2，3，4    n=5, 删除第m=3个数字。
第一个删除的数字为2=（3-1）%5 。即第一个被删除的数字是（m-1）% n 

如：
                  0，1，2，…，k，…，n-1
将第一个被删除的数字是（m-1）% n记为k。
删除k之后，
                  0，1，2，…，k-1，k+1，…，n-1  
此时，剩余n-1个数，且从k+1开始计数。此时，f(n,m)=f'(n-1,m)相当于 
                  k+1，k+2，…，n-1，   0，    1，  2，…，k-1
 进行映射，         0，1 ， …，n-k-2，n-k-1 ，n-k，   …，n-2

把映射定义为p,则p(x)=(x-k-1)%n，p-1(x)=(x+k+1)%n
f’(n-1,m)=p-1[f(n-1,m)]=[f(n-1,m)+k+1]%n,把k=(m-1)% 代入
f(n,m)= f’(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]%n
所以得到递推公式
$f(n) = \begin{cases} 0 & n= 1 \\ [f(n-1,m)+m]百分号n & n>1 \end{cases}$

代码

public class Solution {
    public int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if(n<1||m<1)
            return -1;
        int last=0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            last=(last+m)%i;
        }
        return last;
    }
}