剑指offer系列——46.孩子们的游戏（圆圈中最后剩下的数）

Q：每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0...m-1报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)
如果没有小朋友，请返回-1
T：（约瑟夫环问题）
1.使用单向循环链表（或者使用list，vector，queue都可以，whatever，方便就好）：

struct ListNode {
    int val;
    struct ListNode *next;
    ListNode(int x) :
            val(x), next(NULL) {
    }
};

    int LastRemaining_Solution(int n, int m) {
        if (n == 0 || m == 0)
            return -1;
        ListNode *head = new ListNode(0);
        ListNode *list = head;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            ListNode *temp = new ListNode(i);
            list->next = temp;
            list = list->next;
        }
        list->next = head;
        while (list->next != list) {
            for (int i = 0; i < m - 1; i++)
                list = list->next;
            ListNode *temp2 = list->next;
            list->next = temp2->next;
            temp2->next = nullptr;
            free(temp2);
        }
        return list->val;
    }

2.约瑟夫环公式
引用：https://blog.nowcoder.net/n/81a858b422804183a1a51dbfd4084ebc
这里拿a, b, c, d, e, f, g, h, i, j 来模拟10个人，设m=3.
下图的意思呢，就是模拟这10个人玩这个游戏到最后一个人存活下来的整个过程。绿色行表示在n=*时，每个人的位置索引。因为在n=10时，数一个m，杀死了c之后，后面的继续从0开始数，此时剩9个人，从0开始数，相当于这又是一个全新的游戏，只不过现在只剩9个人，而这9个人此时的位置索引也发生了变动。

通过上图，我们可以很直观的看到，最终d存活了下来。那么，此时我们从下往上看图，看看每一轮d的位置索引是什么情况。当n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10时，d分别选择了位置索引为：0, 1， 1， 0， 3， 0， 3， 6， 0， 3。什么意思呢？可以这么理解，现在让你参与玩这个游戏，你不想死，怎么办呢，要是有1个人参与，ok，你不用死。要是总共2个人参与，你必须选择位置索引为1才能存活下来；要是总共有3个人参与，你必须选择位置索引为1才能存活；要是总共有4个人，你必须选择0......依次类推。你必须通过n来推算自己的索引位置才可以存活下来。

那么我们此时用f(n)f(n)表示nn个人的时候，能够存活的位置索引。由上图显然可以得到\(f(1)=0,f(2)=1,...,f(10)=3\)。但是我们要找的是通项公式。从图中也可以很直观的看到，n=9时d的位置索引就是n=10时循环左移了3位。那么可以得到\(f(10)=(f(9)+3)%10\)，因为是循环左移，所以需要加一个取余，防止越界。同理可以得到\(f(3) =(f(2)+3)\%3，f(2) = (f(1) + 3) \% 2\)。
从始至终，mm只是一个常量。所以不影响结论。所以约瑟夫环问题的公式：
\(f(n,m) = (f(n-1, m) + m) \ mod \ n\)
虽然不是在证明这个公式，但是通过这种方式，希望你能理解这个公式。

    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n == 0)
            return -1;
        if(n == 1)
            return 0;
        else
            return (LastRemaining_Solution(n - 1, m) + m) % n;
    }