正定矩阵与半正定矩阵定义与判别

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1.正定矩阵和半正定矩阵

若所有特征值均大于零，则称为正定。

定义:A是n阶方阵，如果对任何非零向量x，都有>0,其中表示x的转置，就称A为正定矩阵。

性质:

1. 正定矩阵的行列式恒为正；
2. 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同；
3. 两个正定矩阵的和是正定矩阵；
4. 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：

求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶顺序主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

2.半正定矩阵

若所有特征值均不小于零，则称为半正定。

定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有≥0，就称A为半正定矩阵。 

对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。 
性质:

1. 半正定矩阵的行列式是非负的；
2. 两个半正定矩阵的和是半正定的；
3. 非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。