为什么说半正定矩阵是凸锥

一般来说（实数范围内），正定矩阵必是对称矩阵。
一个 $n\times n$ 的实对阵矩阵 $S^n$ 为半正定矩阵，当且仅当其对所有的非零向量 $z$，都满足：

$$z^TS^nz\geq 0$$

实对称矩阵 $S^n$ 的维数为 $n(n+1)/2$， 因为它有 $n(n+1)/2$ 个变量（就是矩阵上三角中的元素）

用 $S^n_+$ 表示半正定矩阵，$S^n_{++}$ 表示正定矩阵。凸优化书中的表示：

$$S^n_+=\{X\in S^n\mid X\succeq 0\}\\ S^n_{++}=\{X\in S^n\mid X\succ 0\}$$

半正定矩阵实际是给出了几个约束条件的函数，例如

$$X=\left[\begin{array}{cc} x & y\\ y& z \end{array}\right]\in S^n_+$$
等价于下面三个约束条件：
$$x\geq 0, z\geq 0, xz-y^2\geq 0$$

半正定矩阵是一个凸锥，因为对任意两点 $A$, $B$ $\in S^n_+$ 以及任意 $\theta_1, \theta_2>0$，都有

$$z^T(\theta_1 A+\theta_2 B)z=\theta_1z^TAz+\theta_2z^TBz\geq 0$$

所以 $\theta_1 A+\theta_2 B\in S^n_+$

可以理解为对任意两个点 $A, B$， $\theta_1 A+\theta_2 B$ 仍然满足那些约束条件（可以举两个点 $(x_1, y_1, z_1)$, $(x_2, y_2, z_2)$ 推出来）。

上面三个约束条件生成的图像如下：

function DefiniteCone
ezmesh(@(x,z)sqrt(x.*z),[0,1],[0,1])
hold on
ezmesh(@(x,z)-sqrt(x.*z),[0,1],[0,1])
xlabel('x'); ylabel('z'); zlabel('y')
title('y^2=xz');
view([53,26]);
end

从图中可见该正定矩阵是一个凸锥。（画图时用除法时生成的图像很怪，因此只能用平方根了）