正定矩阵的特点(一)

正交矩阵

对于一个矩阵 $Q$ 若其为正交矩阵则有
$QQ^T = E$
$E$ 是单位矩阵

矩阵的特征分解

对于一个矩阵其特征值来说，有以下基本条件：
$Av =\lambda v$
同样我们可以得到矩阵的特征值分解
$A=Q\Sigma Q^{-1}$
其中 $Q$是正交矩阵，只需证明矩阵对应不同特征值的特征向量之间相互正交即可，证明：
对于对称正定矩阵 $A$的两个特征值 $\tau \xi$有
$Aq = \tau q$ , $Ap=\xi p$
$q^tAp=q^t(Ap)=\xi q^tp$
同时 $q^tAp = (q^tA)p=(A^tq)^tp=(Aq)^tp=\tau q^tp$
即有 $\xi q^tp=\tau q^tp$ 因为 $\xi\ne\tau$则 $q^tp=0$即两个特征向量之间是相互正交的

矩阵相似

矩阵 $A$和 $B$相似的条件为：
$A=Q^{-1}BQ$
对于相似矩阵其特征值相同原因：
$Ax=\xi x$
$Q^{-1}BQx = \xi x$
$BQx = \xi Qx$
则两矩阵特征值相同

正定矩阵的定义

广义：设 $M$ 为N阶方阵对任意非零向量 $x$ 有 $xMx^T>0$ 则称 $M$是正定矩阵
狭义：对于n阶实对称矩阵 $M$，当且仅当对于所有非零实系数向量 $z$，都有 $z^TMz>0$

正定矩阵乘积的特征值

对于正定矩阵 $A,B$，由于 $A$是正定矩阵 $A=P^2$
$AB=PPB=P(PBP)P^{-1}$
即 $AB$相似与 $PBP$，则其特征值相同则后者正定。则 $AB$的特征值大于零

KaTeX数学公式

您可以使用渲染LaTeX数学表达式 KaTeX:

Gamma公式展示 $\Gamma(n) = (n-1)!\quad\forall n\in\mathbb N$ 是通过欧拉积分

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,.$

你可以找到更多关于的信息 LaTeX 数学表达式[here][1].