对称矩阵及正定性

对称阵是非常重要的矩阵，对于实对称矩阵，其特征值也为实数，且特征向量是垂直的。注意这里的垂直是指：如果特征值互不相同，那么每个特征值对应的特征向量是在一条线上，那些线之间总是垂直的；如果特征值重复，那特征值就对应一整个平面的特征向量，这是因为 ，则 ，在那个平面上，我们总可以选到垂直的向量。比如对于单位阵，它是对称阵，单位阵只有一个特征值即为1，每个向量都是其特征向量，在这些特征向量组成的平面上，总能够挑选出一组垂直的。由于对称阵的n个无关特征向量总是垂直的，因此矩阵原来的对角化形式可变成 ，其中Q为正交阵，正交阵的逆等于其转置，因此对称矩阵可进一步分解为 ，这是线性代数中的一个有名的定理：给定一个对称矩阵A，一定能分解成 这样的形式，即正交矩阵乘以对角矩阵乘以正交矩阵的转置，这在数学上称为谱定理，谱（spectrum）就是指矩阵的特征值集合，在力学上，这常称为主轴定理。

为什么实对称阵的特征值是实数？

从定义 开始推导，两边取共轭则有， 因为讨论的是实对称阵，因此可以写成 ，这个式子说明如果矩阵A有特征值和特征向量x，那它一定有另一特征值和特征向量 ，对方程转置，则  ，则，同乘x，则 ；对两边同乘 ，则有 ，两式左侧相同，因此有 ，因为我们不关心特征向量是零向量的情况，因此有 ，则是实数。

现在我们换一种思维去理解谱定理， ，标准正交特征向量，实特征值，上式表示每个对称阵都可表示为其相互垂直的特征向量的组合。

前面所讲的行列式方法求特征值基本是针对小规模矩阵的，比如2*2，3*3的矩阵，对于大规模矩阵这种求法是无能为力的，比如50*50的矩阵。对于这种大规模矩阵，我们只能对其特征值作些定性的分析，比如对于50阶矩阵，其主元是较容易求得的，由于主元的乘积等于行列式，而特征值的乘积又等于行列式，因此主元的乘积就等于特征值的乘积，另外对于对称阵，我们还有主元的符号与特征值的符号一致，个数相同，正主元个数等于正特征值个数。

正定矩阵（positive definite matrix）

首先正定矩阵都是对称的，且所有特征值都是正数，举个例子，假设对称阵A=  ，经过消元可知其两个主元为5和11/5，都为正，因此A为正定阵，主元的乘积等于行列式，则A的行列式为5*11/5=11，对称阵特征值的个数、正负情况与主元相同，经过计算A的特征值为 ，矩阵的特征值正负在微分方程中是很重要的，因为根据特征值正负，可以确定系统稳定与否，另外对于正定矩阵还有结论：其行列式及所有子行列式都是正的。

判定矩阵是否为正定矩阵（positive definite matrix）有以下4种方法，每种方法都是正定性的完整判断条件：

1、特征值判定：如果矩阵的所有特征值均为正，则该矩阵正定

2、行列式判定：如果矩阵的所有顺序主子式为正，则矩阵正定

3、主元判定：如果所有主元为正，则矩阵正定

4、如果对任意的非零向量x有 ，则矩阵A正定

举个例子，比如，我们知道它是一个半正定矩阵（positive semi-definite matrix），根据特征值之和等于迹（trace，为矩阵对角线元素之和），特征值之积等于行列式（所有主元之积），又该矩阵为奇异阵，因此A的行列式为0，则一定有一特征值 ，又迹为20，因此另一特征值 ，由此看到该矩阵的特征值大于等于0，定义为半正定也就是因为存在这个等于0，因此根据特征值判定此矩阵不是正定矩阵；再看行列式，A的第1个子行列式就是其第一个元素2，第2个子行列式就是其自身的行列式为0，则根据行列式也可判断出A不是正定阵；再根据主元判断，A只存在唯一的主元为2，不存在第2个主元，因此不满足所有主元为正，因此非正定；最后根据，

由上式可知，当x1+3x2=0时，上式等于0，不满足对任意的非零向量x都有， 因此矩阵不正定。