矩阵的正定与半正定

先不慌，我们要搞清楚正定与半正定先熟悉几个基本的概念

一：矩阵的基

最简单的理解就是：线性变换就是线性映射，矩阵只不过是线性映射的系数而已。所以，选定基底实际是选定坐标轴（不一定正交）。我们平时不太关心坐标轴，是因为所有地方都用同一个坐标系x-y-z。很多时候，合适的坐标系会简化问题。

这就像描述一个物体的运动，你需要选取参考系，参考系不同，描述方式也不同。在不同的基下，同一个线性变换就有不同的矩阵表示，不过他们本质上并没有什么区别，这也由相似这一概念表明。

二：矩阵的特征值与特征向量

https://www.zhihu.com/question/21874816

这里有个特征值与特征向量具体的讲解。感兴趣的可以了解下

三：矩阵的正定与半正定

作者：cwaar
链接：https://www.zhihu.com/question/22098422/answer/35874276

半正定与正定矩阵同意用半正定矩阵来事例：
首先半正定矩阵定义为: $X^TMX \geq 0$
其中X 是向量，M 是变换矩阵

我们换一个思路看这个问题，矩阵变换中， $MX$ 代表对向量 X进行变换，我们假设变换后的向量为Y，记做 $Y=MX$ 。于是半正定矩阵可以写成：
$X^TY \geq 0$

这个是不是很熟悉呢？他是两个向量的内积。同时我们也有公式：

$cos(\theta) = \frac{X^TY}{||X||* ||Y||}$

||X||, ||Y||代表向量 X,Y的长度， $\theta$ 是他们之间的夹角。于是半正定矩阵意味着 $cos(\theta)\geq 0$ , 这下明白了么？

正定、半正定矩阵的直觉代表一个向量经过它的变化后的向量与其本身的夹角小于等于90度。

作者：cwaar
链接：https://www.zhihu.com/question/22098422/answer/35874276

考虑矩阵的特征值。
若所有特征值均不小于零（≥），则称为半正定。

若所有特征值均大于零（>），则称为正定。

特征值就是原空间某一个基在变换后的空间的长度变化系数，大于0表示方向一致，小于0表示方向相反。变换后夹角小于90度，其实隐藏的含义是变换后的向量投影回原向量时方向不变。用特征值不小于零或者大于零的条件做限制可以更直观也更严格地表达出这一个特点。

矩阵的 正定与半正定