正定矩阵

1、一个 $n\times n$方阵为正交矩阵
如果 $AA^{T}=I$（I为单位矩阵， $A^{T}$表示“矩阵A的转置矩阵”）或 $A^{T}A=I$，则n阶实矩阵A称为正交矩阵
2、正交矩阵R在几何上是一个旋转，保持夹角和距离不变，并保持某些方向，比如：
反射变换(refIection)又称为镜像反射或镜像变换，类似于一个对象在
一面镜子中的影子。二维平面上给定一条直线，我们可以作关于直线的镜像反射；三维空间中，给定一个平面，我们可以做关于这个平面的镜像反射。
3、对角矩阵除对角线外所有元素均为0。
4、 $n\times n$方阵G为非负定，如果满足：
（1）G为对称
（2）对任何n维向量 $x$，有 $x^{'}Gx\geq0$
如果G为正定的，则对任何n维向量 $x$，除了 $x=0_{n\times1}$以外，有有 $x^{'}Gx\geq0$

非负定矩阵也叫半正定矩阵。

5、G为非负定的，当且仅当有一个对角线矩阵D，它的对角线元素非负，且有一个正交矩阵R，使得 $G=RDR^{'}$，G为正定的，当且仅当有一个对角线矩阵D，它的对角线元素全为正数，且有一个正交矩阵R，使得 $G=RDR^{'}$。
其中，R的列为G的特征向量，D的对角线元素为特征值 。
6、根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：
（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
（2）计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。