考研 | 高等数学 Chapter4 不定积分

考研 | 高等数学 Chapter4 不定积分

I. 定义

1. 原函数 — If $F^{\prime }(x)=f(x),F(x)称为f(x)原函数$
2. 不定积分 — 设 $F(x)为f(x)的一个原函数,F(x)+C称为f(x)的不定积分$
3. Notes:
   1. 若 $f(x)\exists \Rightarrow \exists$无数个原函数
   2. 任意两个原函数之差为常数
   3. 若 $f(x)连续\Rightarrow \exists$原函数

II. 不定积分工具

a. 基本公式

1. $\int kdx=kx+C$
2. 幂函数
   1. $\int x^{a}dx=\frac{1}{a+1}{x}^{a+1}+C;(a\ne 1)$
   2. $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$
3. 指数函数
   1. $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C;(a\ne 1)$
   2. $\int 1^{x}dx=x+C$
4. 三角函数

   $\int \sin xdx=-\cos x+C$	$\int \cos xdx=\sin x+C$
   $\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$	$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$
   $\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$	$\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C$
   $\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$	$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$
   $\int \sec (\tan x)dx=\sec x+C$	$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$

5. 平方和平方差

   $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$	$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C$
   $\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$	$\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$
   $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C$	$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln (x+\sqrt{x^2-a^2})+C$
   $\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C$	$\int \sqrt{a^2-x}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C$

b. 积分法

case1: 第一类换元积分法

case2: 第二类换元积分法

1. 无理变有理

2. 三角代换, 平方和平方差

涉及到:
1. $\sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow x=a\sin t\Rightarrow a\cos t$
2. $\sqrt{a^2+x^2}\Rightarrow x=a\tan t\Rightarrow a\sec t$
3. $\sqrt{x^2-a^2}\Rightarrow x=a\sec t\Rightarrow a\tan t$

3. 分部积分法

$$\begin{array}{rl}(uv{)}^{\prime }& =u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ \int (uv{)}^{\prime }dx& =\int u^{\prime }vdx+\int u{v}^{\prime }dx\\ uv& =\int vdu+\int udv\\ \int udv& =uv-\int vdu\end{array}$$

1. $\int 幂\ast 指dx$, 留幂函数
   

2. $\int 幂\ast 对数dx$, 留对数
   

3. $\int 幂\ast 三角dx$
   Notes:

   1. 三角函数$\sin \cos$必须是一次
      
   2. 如果遇到${\sin }^2{\cos }^2$用半角公式降次
      $$\begin{gathered} \sin (2x)=2\sin x\cos x \\ \cos (2x)={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x \end{gathered}$$
      
   3. 如果遇到$\tan \cot \sec \cot$等可以允许偶数次
      

4. $\int 幂\ast 反三角dx$, 留反三角函数
   
   

5. $\int e^{ax}\ast \sin bx$ 或 $\int e^{ax}\ast \cos bx$, 留三角函数
   

6. $\int {\sec }^{n}xdx$ 或 $\int {\csc }^{n}xdx$, 其中 $n$ 为奇数
   

7. $\int {\sec }^{n}xdx$ 或 $\int {\csc }^{n}xdx$, 其中 $n$ 为偶数
   

III. 特殊函数的不定积分

a. 有理函数

定义: 被积函数 $R(x)$ 为有理函数, 其中 $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$, 其中 $P(x)Q(x)$ 分别为多项式
当 $P(x)最大次数<Q(x)最大次数$, $R(x)$ 为真分式
当 $P(x)最大次数\ge Q(x)最大次数$, $R(x)$ 为假分式

case1: 假分式

思路: 将假分式转成多项式+真分式

case2: 真分式

思路: 1. 分子不动; 2. 分母因式分解拆成部分和

b. 无理函数

c. 三角有理函数不定积分